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Chapitre VII. Descente globale
On fixe v et il suffit de montrer que ces homomorphismes locaux sont égaux.
Rappelons que H
0
ab (F v ; I ) = H
1,0 (F v ; ¯
S sc → S
θ ). On vérifie que le premier homomorphisme est déduit du composé des homomorphismes suivants de complexes
de tores
¯
S sc →
S
θ
↓
↓
¯
S sc →
0
↓
↓
S sc
1−θ
→ (1 − θ)(S) .
Le second est déduit du composé des homomorphismes suivants de complexes de
tores
¯
S sc →
S
θ
↓
↓
S sc →
S
↓
↓ 1 − θ
S sc
1−θ
→
(1 − θ)(S) .
Mais les deux homomorphismes composés
¯
S sc →
S
θ
↓
↓
S sc
1−θ
→ (1 − θ)(S)
sont égaux. Cela prouve l’égalité de nos homomorphismes. D’où (2).
Grâce à (2), l’homomorphisme (1) se quotiente en un homomorphisme q 0 :
Q ∞ → Q. Son image est égale au groupe Q 0 défini en 6.6.
Lemme. L’image de l’homomorphisme q ∞ est égale au noyau de q 0 .
Preuve. Montrons d’abord que l’image de q ∞ est contenue dans le noyau de q 0 .
On introduit les notations suivantes pour les homomorphismes naturels
¯
G
¯
π
→
G .
¯
π ,sc
π
G SC
Soit u : Γ F → Z(I ) un cocycle dont l’image dans H
1 (F ; I ) appartient à U. On
fixe y ∈ G( ¯
F ) tel que u(σ) = yσ(y)
−1 pour tout σ ∈ Γ F . On fixe y sc ∈ G SC ( ¯
F ) et
z ∈ Z(G; ¯
F ) tels que y = zπ(y sc ). Pour toute place v, on fixe des éléments i v et
k v comme en 7.6. On fixe
– z v ∈ Z(G; ¯
F v ) et x sc,v ∈ G SC ( ¯
F v ) tels que i v k v = z v π(x sc,v ) ;
– ζ v ∈ Z(I ; ¯
F v ) et ¯ i sc,v ∈ ¯
G ( ¯
F v ) tels que i v = ζ v ¯
π ( ¯ i sc,v ) ;
– b v ∈ Z(G; ¯
F v ) et k sc,v ∈ G SC ( ¯
F v ) tels que k v = b v π(k sc,v ) (on prend b v = 1
et k sc,v = 1 pour v ∈ V ).