VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide
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Montrons que
(2) pour 1 ≤ j < j
≤ 3, le composé de l’homomorphisme (1) et de q j,j est nul.
Prouvons-le pour (j, j
) = (1, 2), la démonstration étant similaire pour les
autres couples. Il s’agit de prouver que le diagramme suivant
Q 1,2
Q 1
Q 2
q 1
q 2
Q
est commutatif, où les flèches du haut sont celles définies en 7.6.
Le composé des homomorphismes de gauche est composé de
Q 1,2 = I (A F ) → H
0
ab (A F ; I ) → H
0
ab (A F ; ¯
G ,AD )
= H
1,0 (A F ; ¯
S sc → S
θ /Z(I )) → H
1 (A F ; ¯
S sc ) → Q 1
= H
1 (A F /F ; ¯
S sc ) → H
1,0 (A F /F ; S sc
1−θ
→ (1 − θ)(S)).
On peut remplacer les deux derniers homomorphismes par
H
1 (A F ; ¯
S sc ) → H
1,0 (A F ; S sc
1−θ
→ (1 − θ)(S)) → H
1,0 (A F /F ; S sc
1−θ
→ (1 − θ)(S)).
Le composé des homomorphismes de droite du diagramme est composé de
Q 1,2 = I (A F ) → H
0
ab (A F ; I ) → H
0
ab (A F ; G) → Q 2
= H
0
ab (A F ; G)/ Im(H
0
ab (F ; G)) → H
0
ab (A F /F ; G)
= H
1,0 (A F /F ; S sc → S) → H
1,0 (A F /F ; S sc
1−θ
→ (1 − θ)(S)).
Il est égal au composé de
Q 1,2 = I (A F ) → H
0
ab (A F ; I ) → H
0
ab (A F ; G)
= H
1,0 (A F ; S sc → S) → H
1,0 (A F ; S sc
1−θ
→ (1 − θ)(S))
→ H
1,0 (A F /F ; S sc
1−θ
→ (1 − θ)(S)).
Ainsi, nos deux homomorphismes se factorisent par des homomorphismes
H
0
ab (A F ; I ) → H
1,0 (A F ; S sc
1−θ
→ (1 − θ)(S)),
que l’on décompose en produits d’homomorphismes locaux
H
0
ab (F v ; I ) → H
1,0 (F v ; S sc
1−θ
→ (1 − θ)(S)).