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Chapitre VII. Descente globale
est immédiat que u
1 = u 1 u
1 et u
3 = u 3 u
3 . Pour construire le terme u 2 , on doit
choisir un élément y ∈ G( ¯
F ) tel que u(σ) = yσ(y)
−1 pour tout σ ∈ Γ F et des
décompositions y = zπ(y sc ) et i v k v = z v π(x sc,v ). Pour cette dernière, on peut
choisir des décompositions i v = a v π(i sc,v ) et k v = b v π(k sc,v ) avec a v , b v ∈ Z(G)
et i sc,v , k sc,v ∈ G SC . On pose alors z v = a v b v , x sc,v = i sc,v k sc,v . On choisit des
termes analogues pour u
, que l’on affecte d’un
. Pour u
, on choisit un terme y
et une décomposition y
= z
π(y
sc ). On peut choisir i
sc,v = i sc,v i
sc,v , a
v = a v a
v ,
k
sc,v = k
sc,v k sc,v , b
v = b
v b v . Pour σ ∈ Γ Fv , posons
χ v (σ) = σ(x sc,v )x
−1
sc,v σ(x
sc,v )x
sc,v
−1 x
sc,v σ(x
sc,v )
−1 .
Parce que k v σ(k v )
−1
∈ Z(G), on a k sc,v σ(k sc,v )
−1
∈ Z(G SC ). Notons I ,sc l’image
réciproque dans G SC de l’image de I dans G AD . On a i sc,v ∈ I ,sc . Parce que
i v σ(i v )
−1
∈ Z(I ), on a i sc,v σ(i sc,v )
−1
∈ Z(I ,sc ). De mêmes propriétés valent
pour k
sc,v , k
sc,v , i
sc,v et i
sc,v . On calcule alors
(2)
χ v (σ) = σ(k sc,v )k
−1
sc,v σ(k
sc,v )k
sc,v
−1 k
sc,v σ(k
sc,v )
−1
σ(i sc,v )i
−1
sc,v σ(i
sc,v )i
−1
sc,v i
sc,v σ(i
sc,v )
−1 .
On a
k
sc,v σ(k
sc,v )
−1 = k
sc,v k sc,v σ(k sc,v )
−1 σ(k
sc,v )
−1 = k
sc,v σ(k
sc,v )
−1 k sc,v σ(k sc,v )
−1
et les six premiers termes de (2) disparaissent. On a aussi
σ(i sc,v )i
−1
sc,v σ(i
sc,v )i
−1
sc,v = σ(i sc,v )σ(i
sc,v )i
−1
sc,v i
−1
sc,v = σ(i
sc,v )i
−1
sc,v
et les six derniers termes de (2) disparaissent. D’où χ v (σ) = 1.
En appliquant les définitions, on voit alors que u 2 u
2 u
2
−1 est l’image dans
Q 2 du cocycle (ξ, zz
z
−1 ) ∈ H
0
ab (A F ; G), où ξ est défini par
ξ(σ) = y sc σ(y sc )
−1 y
sc σ(y
sc )
−1 σ(y
sc )y
sc
−1 .
Ce cocycle est l’image d’un élément de H
0
ab (F ; G). Or H
0
ab (F ; G) s’envoie sur 0
dans Q 2 . D’où u
2 = u 2 u
2 . Cela prouve que l’application q ∞ , quotientée en une
application définie sur U, est un homomorphisme.
VII.7.7 L’image de l’homomorphisme q ∞
Rappelons que
Q = H
1,0 (A F /F ; S sc
1−θ
→ (1 − θ)(S)).
Pour j = 1, 2, 3, on a défini en 6.6 un homomorphisme q j : Q j → Q. On en déduit
un homomorphisme produit
(1)
Q × = Q 1 × Q 2 × Q 3 → Q.
Chapitre VII. Descente globale
est immédiat que u
1 = u 1 u
1 et u
3 = u 3 u
3 . Pour construire le terme u 2 , on doit
choisir un élément y ∈ G( ¯
F ) tel que u(σ) = yσ(y)
−1 pour tout σ ∈ Γ F et des
décompositions y = zπ(y sc ) et i v k v = z v π(x sc,v ). Pour cette dernière, on peut
choisir des décompositions i v = a v π(i sc,v ) et k v = b v π(k sc,v ) avec a v , b v ∈ Z(G)
et i sc,v , k sc,v ∈ G SC . On pose alors z v = a v b v , x sc,v = i sc,v k sc,v . On choisit des
termes analogues pour u
, que l’on affecte d’un
. Pour u
, on choisit un terme y
et une décomposition y
= z
π(y
sc ). On peut choisir i
sc,v = i sc,v i
sc,v , a
v = a v a
v ,
k
sc,v = k
sc,v k sc,v , b
v = b
v b v . Pour σ ∈ Γ Fv , posons
χ v (σ) = σ(x sc,v )x
−1
sc,v σ(x
sc,v )x
sc,v
−1 x
sc,v σ(x
sc,v )
−1 .
Parce que k v σ(k v )
−1
∈ Z(G), on a k sc,v σ(k sc,v )
−1
∈ Z(G SC ). Notons I ,sc l’image
réciproque dans G SC de l’image de I dans G AD . On a i sc,v ∈ I ,sc . Parce que
i v σ(i v )
−1
∈ Z(I ), on a i sc,v σ(i sc,v )
−1
∈ Z(I ,sc ). De mêmes propriétés valent
pour k
sc,v , k
sc,v , i
sc,v et i
sc,v . On calcule alors
(2)
χ v (σ) = σ(k sc,v )k
−1
sc,v σ(k
sc,v )k
sc,v
−1 k
sc,v σ(k
sc,v )
−1
σ(i sc,v )i
−1
sc,v σ(i
sc,v )i
−1
sc,v i
sc,v σ(i
sc,v )
−1 .
On a
k
sc,v σ(k
sc,v )
−1 = k
sc,v k sc,v σ(k sc,v )
−1 σ(k
sc,v )
−1 = k
sc,v σ(k
sc,v )
−1 k sc,v σ(k sc,v )
−1
et les six premiers termes de (2) disparaissent. On a aussi
σ(i sc,v )i
−1
sc,v σ(i
sc,v )i
−1
sc,v = σ(i sc,v )σ(i
sc,v )i
−1
sc,v i
−1
sc,v = σ(i
sc,v )i
−1
sc,v
et les six derniers termes de (2) disparaissent. D’où χ v (σ) = 1.
En appliquant les définitions, on voit alors que u 2 u
2 u
2
−1 est l’image dans
Q 2 du cocycle (ξ, zz
z
−1 ) ∈ H
0
ab (A F ; G), où ξ est défini par
ξ(σ) = y sc σ(y sc )
−1 y
sc σ(y
sc )
−1 σ(y
sc )y
sc
−1 .
Ce cocycle est l’image d’un élément de H
0
ab (F ; G). Or H
0
ab (F ; G) s’envoie sur 0
dans Q 2 . D’où u
2 = u 2 u
2 . Cela prouve que l’application q ∞ , quotientée en une
application définie sur U, est un homomorphisme.
VII.7.7 L’image de l’homomorphisme q ∞
Rappelons que
Q = H
1,0 (A F /F ; S sc
1−θ
→ (1 − θ)(S)).
Pour j = 1, 2, 3, on a défini en 6.6 un homomorphisme q j : Q j → Q. On en déduit
un homomorphisme produit
(1)
Q × = Q 1 × Q 2 × Q 3 → Q.