VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide
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est un sous-groupe compact hyperspécial de ¯
G (F v ), qui donne naissance à un tel
sous-groupe ¯
K ,ad,v de ¯
G ,AD (F v ). La propriété précédente entraîne que l’image
j ad de j dans ¯
G ,AD (F v ) appartient à ¯
K ,ad,v . Elle définit donc un élément j de
Q 1,3 . On voit que u
2 = u 2 tandis que (u
1 , u
3 ) est le produit de (u 1 , u 3 ) et de
q 1,3 (j). De nouveau, les images dans Q ∞ de (u 1 , u 2 , u 3 ) et de (u
1 , u
2 , u
3 ) sont
égales. Cela prouve le (i) de l’énoncé.
Considérons deux cocycles u et u
de Γ F dans Z(I ; ¯
F ) qui ont même image
dans H
1 (F ; I ), cette image appartenant à U. Alors on peut fixer i ∈ I ( ¯
F ) tel
que u
(σ) = iu(σ)σ(i)
−1 pour tout σ ∈ Γ F . Cette relation implique que iσ(i)
−1
∈
Z(I ; ¯
F ). Des données i v et k v étant fixées pour tout v pour le cocycle u, on peut
choisir pour u
les données i
v = ii v et k
v = k v . On note u 1 etc. . . les termes associés
à u et aux données i v et k v et u
1 etc. . . ceux associés à u
et aux données i
v et
k
v . On a trivialement u
3 = u 3 . La relation iσ(i)
−1
∈ Z(I ; ¯
F ) pour tout σ ∈ Γ F
implique que l’image i ad de i dans ¯
G ,AD appartient à ¯
G ,AD (F ). On voit que u
1
est le produit de u 1 et de l’image de i ad par la suite d’applications naturelles
¯
G ,AD (F ) → H
1 (F ; Z( ¯
G )) → H
1 (F ; ¯
S sc ) → H
1 (A F /F ; ¯
S sc ) = Q 1 .
Or la dernière application ci-dessus est nulle, donc u
1 = u 1 . Dans la construction
de u 2 , on a choisi un élément y ∈ G( ¯
F ) tel que u(σ) = yσ(y)
−1 pour tout σ ∈ Γ F .
On peut choisir pour u
l’élément y
= iy. On vérifie alors que u
2 = u 2 . Donc
q ∞ (u
) = q ∞ (u). Cela prouve que l’application q ∞ se quotiente en une application
de U dans Q ∞ .
Considérons deux cocycles u et u
de Γ F dans Z(I ; ¯
F ) dont les images dans
H
1 (F ; I ) appartiennent à U. Posons u
= uu
. Choisissons pour toute place v
des données i v et k v pour u et des données i
v et k
v pour u
. Pour tout v et tout
σ ∈ Γ Fv , on a
u
(σ) = u(σ)u
(σ) = i v k v σ(i v k v )
−1 u
(σ) = k v σ(k v )
−1 i v σ(i v )
−1 u
(σ),
parce que k v σ(k v )
−1
∈ Z(G). Puis
u
(σ) = k v σ(k v )
−1 i v u
(σ)σ(i v )
−1
parce que u
(σ) ∈ Z(I ). Puis
u
(σ) = k v σ(k v )
−1 i v i
v k
v σ(i
v k
v )
−1 σ(i v )
−1
= k v σ(k v )
−1 i v i
v k
v σ(i v i
v k
v )
−1 = i v i
v k
v k v σ(k v )
−1 σ(i v i
v k
v )
−1
toujours parce que k v σ(k v )
−1
∈ Z(G). D’où
u
(σ) = i v i
v k
v k v σ(i v i
v k
v k v )
−1 .
Pour u
, on peut donc choisir pour données i
v = i v i
v et k
v = k
v k v . On note u 1
etc. . ., u
1 etc. . ., u
1 etc. . . les termes construits avec ces différentes données. Il
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est un sous-groupe compact hyperspécial de ¯
G (F v ), qui donne naissance à un tel
sous-groupe ¯
K ,ad,v de ¯
G ,AD (F v ). La propriété précédente entraîne que l’image
j ad de j dans ¯
G ,AD (F v ) appartient à ¯
K ,ad,v . Elle définit donc un élément j de
Q 1,3 . On voit que u
2 = u 2 tandis que (u
1 , u
3 ) est le produit de (u 1 , u 3 ) et de
q 1,3 (j). De nouveau, les images dans Q ∞ de (u 1 , u 2 , u 3 ) et de (u
1 , u
2 , u
3 ) sont
égales. Cela prouve le (i) de l’énoncé.
Considérons deux cocycles u et u
de Γ F dans Z(I ; ¯
F ) qui ont même image
dans H
1 (F ; I ), cette image appartenant à U. Alors on peut fixer i ∈ I ( ¯
F ) tel
que u
(σ) = iu(σ)σ(i)
−1 pour tout σ ∈ Γ F . Cette relation implique que iσ(i)
−1
∈
Z(I ; ¯
F ). Des données i v et k v étant fixées pour tout v pour le cocycle u, on peut
choisir pour u
les données i
v = ii v et k
v = k v . On note u 1 etc. . . les termes associés
à u et aux données i v et k v et u
1 etc. . . ceux associés à u
et aux données i
v et
k
v . On a trivialement u
3 = u 3 . La relation iσ(i)
−1
∈ Z(I ; ¯
F ) pour tout σ ∈ Γ F
implique que l’image i ad de i dans ¯
G ,AD appartient à ¯
G ,AD (F ). On voit que u
1
est le produit de u 1 et de l’image de i ad par la suite d’applications naturelles
¯
G ,AD (F ) → H
1 (F ; Z( ¯
G )) → H
1 (F ; ¯
S sc ) → H
1 (A F /F ; ¯
S sc ) = Q 1 .
Or la dernière application ci-dessus est nulle, donc u
1 = u 1 . Dans la construction
de u 2 , on a choisi un élément y ∈ G( ¯
F ) tel que u(σ) = yσ(y)
−1 pour tout σ ∈ Γ F .
On peut choisir pour u
l’élément y
= iy. On vérifie alors que u
2 = u 2 . Donc
q ∞ (u
) = q ∞ (u). Cela prouve que l’application q ∞ se quotiente en une application
de U dans Q ∞ .
Considérons deux cocycles u et u
de Γ F dans Z(I ; ¯
F ) dont les images dans
H
1 (F ; I ) appartiennent à U. Posons u
= uu
. Choisissons pour toute place v
des données i v et k v pour u et des données i
v et k
v pour u
. Pour tout v et tout
σ ∈ Γ Fv , on a
u
(σ) = u(σ)u
(σ) = i v k v σ(i v k v )
−1 u
(σ) = k v σ(k v )
−1 i v σ(i v )
−1 u
(σ),
parce que k v σ(k v )
−1
∈ Z(G). Puis
u
(σ) = k v σ(k v )
−1 i v u
(σ)σ(i v )
−1
parce que u
(σ) ∈ Z(I ). Puis
u
(σ) = k v σ(k v )
−1 i v i
v k
v σ(i
v k
v )
−1 σ(i v )
−1
= k v σ(k v )
−1 i v i
v k
v σ(i v i
v k
v )
−1 = i v i
v k
v k v σ(k v )
−1 σ(i v i
v k
v )
−1
toujours parce que k v σ(k v )
−1
∈ Z(G). D’où
u
(σ) = i v i
v k
v k v σ(i v i
v k
v k v )
−1 .
Pour u
, on peut donc choisir pour données i
v = i v i
v et k
v = k
v k v . On note u 1
etc. . ., u
1 etc. . ., u
1 etc. . . les termes construits avec ces différentes données. Il