884
Chapitre VII. Descente globale
Lemme.
(i) L’élément q ∞ (u) ne dépend pas des choix effectués.
(ii) L’application u → q ∞ (u) se quotiente en un homomorphisme de U dans Q ∞ .
Notation. On notera encore q ∞ cet homomorphisme de U dans Q ∞ .
Preuve. Le cocycle u étant fixé, les choix sont ceux des éléments i v et k v . Pour une
place v ∈ Val(F ), considérons d’autres choix i
v , k
v . Notons u
1 etc. . . les analogues
de u 1 etc. . . construits à l’aide de ces nouveaux choix. Supposons d’abord v ∈ V .
On a alors k v = k
v = 1 et u
3 = u 3 . La relation i v σ(i v )
−1 = u(σ) = i
v σ(i
v )
−1
implique qu’il existe g ∈ G(F v ) tel que i
v = i v g. Puisque i v et i
v appartiennent
à I , on a g ∈ I (F v ). Cet élément g s’envoie en un élément de Q 1,2 . On voit
que le couple (u
1 , u
2 ) est le produit de (u 1 , u 2 ) et de l’image par q 1,2 de cet
élément de Q 1,2 . Donc les images dans Q ∞ de (u 1 , u 2 , u 3 ) et de (u
1 , u
2 , u
3 ) sont
égales. Supposons maintenant v ∈ V . On a fixé un élément h ,v ∈ G(F v ) tel
que ad h
−1
,v
(η ) ∈ ˜
K v . Remarquons que, puisque k v σ(k v )
−1 est central pour tout
σ ∈ Γ Fv , on a l’égalité
h ,v k v σ(h ,v k v )
−1 = k v σ(k v )
−1 .
On a donc u(σ) = i v h ,v k v σ(i v h ,v k v )
−1 pour tout σ ∈ Γ Fv . On a une relation
analogue avec i
v et k
v . Cela entraîne qu’il existe g 1 ∈ G(F v ) tel que i
v h ,v k
v =
i v h ,v k v g 1 . Posons g = ad kv (g 1 ). On a encore g ∈ G(F v ) et on a i
v h ,v k
v =
i v h ,v gk v . On a alors
ad g −1 ◦ ad h
−1
,v
(η ) = ad kvk
v
−1 ◦ ad h
−1
,v
◦ ad i
v
−1 iv (η )
= ad kvk
v
−1 ◦ ad h
−1
,v
(η ) ∈ ad kv k
v
−1 ( ˜
K v ) = ˜
K v .
D’après le lemme 5.6(ii) de [79], cela implique
g ∈ G ad h
−1
,v
(η) (F v )K v = ad h
−1
,v
( ¯
G (F v ))K v .
Ecrivons g = ad h
−1
,v
(a)b, avec a ∈ ¯
G (F v ) et b ∈ K v . Posons i
v = i v a et k
v = bk v .
On voit que le couple (i
v , k
v ) est encore un choix possible, donnant naissance à
des termes u
1 etc. . . On a de plus i
v h ,v k
v = i
v h ,v k
v . L’élément a a une image
naturelle a ∈ Q 1,2 . L’élément b a une image naturelle b ∈ Q 2,3 . On vérifie que
(u
1 , u
2 , u
3 ) est le produit de (u 1 , u 2 , u 3 ) et de q 1,2 (a)q 2,3 (b)
−1 . Donc les images
dans Q ∞ de (u
1 , u
2 , u
3 ) et de (u 1 , u 2 , u 3 ) sont égales. Pour simplifier les notations,
on peut supposer maintenant i
v = i v et k
v = k v . On a alors l’égalité i
v h ,v k
v =
i v h ,v k v . Posons j = i
−1
v i
v = h ,v k v k
v
−1 h
−1
,v . Alors j ∈ I ( ¯
F v ) ∩ ad h,v (K ,v ).
D’après 5.5(1), cette intersection est égale au produit de Z(G)
θ et de
I ( ¯
F v ) ∩ ad h,v (K ,v ∩ K
nr
v ).
Le groupe
¯
G (F v ) ∩ ad h,v (K v )