VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide
883
On suppose vérifiée la condition (1). Soit v ∈ Val(F ). Si v ∈ V , on a
i v σ(i v )
−1 = u(σ) donc i v σ(i v )
−1
∈ Z(I ) pour tout σ ∈ Γ Fv . La même propriété vaut si v ∈ V car alors k v σ(k v )
−1
∈ Z(G)
θ
⊂ Z(I ). Donc l’image i v,ad de
i v dans ¯
G ,AD appartient à ¯
G ,AD (F v ). On a des applications naturelles
¯
G ,AD (F v ) → H
1 (F v ; Z( ¯
G ,SC )) → H
1 (F v ; ¯
S sc ).
Pour presque tout v, le groupe K v ∩ ¯
G (F v ) est un sous-groupe compact hyperspécial de ¯
G (F v ). Il détermine un tel sous-groupe ¯
K ,v,ad de ¯
G ,AD (F v ). La condition
(1) entraîne que i v,ad appartient à ce sous-groupe pour presque tout v. Si de plus,
¯
S sc est non ramifié en v, on voit que l’image de i v,ad par l’application précédente
appartient au sous-groupe H
1 (o v ; ¯
S sc ), qui est nul. On a ainsi construit pour tout
v un élément de H
1 (F v ; ¯
S sc ) qui est nul pour presque tout v. La collection de
ces termes est un élément de H
1 (A F ; ¯
S sc ). On l’envoie dans Q 1 par l’application
naturelle. Notons u 1 l’élément de Q 1 obtenu.
Fixons comme dans la preuve de (1) un élément y ∈ G( ¯
F ) tel que u(σ) =
yσ(y)
−1 pour tout σ ∈ Γ F . Fixons une décomposition y = zπ(y sc ), avec z ∈
Z(G; ¯
F ) et y sc ∈ G SC ( ¯
F ). Pour unifier les notations, posons k v = 1 pour v ∈
V . Pour tout v ∈ Val(F ), fixons une décomposition i v k v = z v π(x sc,v ), avec
z v ∈ Z(G; ¯
F v ) et x sc,v ∈ G SC ( ¯
F v ). Pour σ ∈ Γ Fv , les termes y sc σ(y sc )
−1 et
x sc,v σ(x sc,v )
−1 ont même image dans G AD : c’est l’image de u(σ). Celle-ci appartient à l’image dans G AD de Z(I ), laquelle est contenu dans celle de S ,v . Il
en résulte que les termes ci-dessus appartiennent à S ( ¯
F v ) et que leur rapport
appartient à Z(G SC ; ¯
F v ). Posons χ v (σ) = σ(x sc,v )x
−1
sc,v y sc σ(y sc )
−1 . L’égalité
i v k v σ(i v k v )
−1 = u(σ) = yσ(y)
−1
entraîne que le couple (χ v , zz
−1
v ) est un cocycle de Γ Fv dans le complexe Z(G SC ) →
Z(G), que l’on pousse en un cocycle à valeurs dans le complexe S sc → S. On
obtient ainsi un élément de H
0 (F v ; S sc → S) = H
0
ab (F v ; G). Il est clair que cet
élément ne dépend pas des décompositions choisies de y et i v k v . Pour presque
tout v, on a y sc ∈ K
nr
sc,v et z ∈ K
nr
v . L’hypothèse (1) permet de choisir des
éléments x sc,v ∈ K sc,v et z v ∈ K
nr
v . On vérifie alors que l’élément de H
0
ab (F v ; G)
que l’on vient de construire appartient à H
0
ab (o v ; G). La collection de ces éléments
appartient à H
0
ab (A F ; G). On pousse cet élément en un élément de Q 2 que l’on
note u 2 . On a choisi pour le construire un élément y. Mais on ne peut modifier
y qu’en le multipliant à droite par un élément g ∈ G(F ). On vérifie qu’une telle
multiplication multiplie l’élément de H
0
ab (A F ; G) que l’on a construit par l’image
de g
−1 dans ce groupe par la suite d’applications
G(F ) → H
0
ab (F ; G) → H
0
ab (A F ; G).
Donc l’image u 2 dans Q 2 est inchangée.
Pour tout v ∈ V , k v a une image naturelle dans H
0
ab (o v ; G ), cf. 6.2(1). On
note u 3 le produit de ces éléments dans Q 3 .
Notons q ∞ (u) l’image dans Q ∞ du triplet (u 1 , u 2 , u 3 ) ∈ Q × .