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Chapitre VII. Descente globale
groupe Q 2,3 s’envoie naturellement dans Q 2 et Q 3 . Toutes ces applications sont
des homomorphismes. Ainsi, pour 1 ≤ j < j
≤ 3, on a des homomorphismes
Q j
Q j,j
Q j .
On en déduit un homomorphisme q j,j : Q j,j → Q × dont la composante dans
Q j est l’homomorphisme précédent, la composante dans Q j est l’opposé de l’homomorphisme précédent et la dernière composante est triviale. On note Q ∞ le
quotient de Q × par le groupe engendré par les images des homomorphismes q j,j .
Soit u : Γ F → Z(I ; ¯
F ) un cocycle dont l’image dans H
1 (F ; I ) appartient à
U. Pour v ∈ V , l’image de u dans H
1 (F v ; I ) est nulle. On peut fixer i v ∈ I de
sorte que u(σ) = i v σ(i v )
−1 pour tout σ ∈ Γ Fv . Pour v ∈ V , u vérifie la condition
7.5(8). On peut fixer k v ∈ K ,v et i v ∈ I de sorte que u(σ) = i v k v σ(i v k v )
−1 pour
tout σ ∈ Γ Fv . Montrons que
(1) on peut supposer k v ∈ K ,v ∩ K
nr
v et i v ∈ I (F
nr
v ) ∩ K
nr
v pour presque tout v.
Preuve. D’après le lemme 7.5, on peut fixer y ∈ ˙
Y [d V ] tel que u soit cohomologue
au cocycle σ → yσ(y)
−1 . Quitte à multiplier y à gauche par un élément de I ( ¯
F ),
on obtient un élément y ∈ G( ¯
F ) tel que u(σ) = yσ(y)
−1 pour tout σ ∈ Γ F . On
fixe un ensemble fini V
de places de F , contenant V , tel que, pour v ∈ V
,
– y ∈ K
nr
v ;
– η ∈ ˜
K v .
Soit v ∈ V
. D’après 5.5(1), on a K ,v = Z(G)
θ (K ,v ∩ K
nr
v ). On peut donc
écrire k v = z v k
v avec z v ∈ Z(G)
θ et k
v ∈ K ,v ∩ K
nr
v . Puisque Z(G)
θ
⊂ I ,
on peut remplacer le couple (i v , k v ) par (i v z v , k
v ). Après ce remplacement, on a
k v ∈ K ,v ∩ K
nr
v . L’égalité i v k v σ(i v k v )
−1 = yσ(y)
−1 pour tout σ ∈ Γ Fv implique
qu’il existe g 1 ∈ G(F v ) tel que y = i v k v g 1 . Posons g = ad kv (g 1 ). Puisque K ,v
normalise G(F v ), on a encore g ∈ G(F v ). On a y = i v gk v . D’où
ad g −1 (η ) = ad kv y −1 iv (η ) = ad kv y −1 (η ) ∈ ad kvy −1 ( ˜
K
nr
v ) = ˜
K
nr
v .
Puisque ad g −1 (η ) ∈ ˜
G(F v ), cela entraîne ad g −1 (η ) ∈ ˜
K v . Comme on l’a expliqué
dans la preuve du lemme 1.6, on peut appliquer les résultats de [79] 5.6. Le (ii)
du lemme de cette référence implique que g ∈ ¯
G (F v )K v . Ecrivons g = xk
, avec
x ∈ ¯
G (F v ) et k
∈ K v . On peut remplacer notre couple (i v , k v ) par (i v x, k
k v ).
Notons simplement (i v , k v ) ce nouveau couple. Il vérifie les mêmes propriétés que
l’ancien mais vérifie de plus y = i v k v . Donc i v k v ∈ K
nr
v . Puisque k v ∈ K
nr
v , cela
entraîne i v ∈ I (F
nr
v ) ∩ K
nr
v .
Chapitre VII. Descente globale
groupe Q 2,3 s’envoie naturellement dans Q 2 et Q 3 . Toutes ces applications sont
des homomorphismes. Ainsi, pour 1 ≤ j < j
≤ 3, on a des homomorphismes
Q j
Q j,j
Q j .
On en déduit un homomorphisme q j,j : Q j,j → Q × dont la composante dans
Q j est l’homomorphisme précédent, la composante dans Q j est l’opposé de l’homomorphisme précédent et la dernière composante est triviale. On note Q ∞ le
quotient de Q × par le groupe engendré par les images des homomorphismes q j,j .
Soit u : Γ F → Z(I ; ¯
F ) un cocycle dont l’image dans H
1 (F ; I ) appartient à
U. Pour v ∈ V , l’image de u dans H
1 (F v ; I ) est nulle. On peut fixer i v ∈ I de
sorte que u(σ) = i v σ(i v )
−1 pour tout σ ∈ Γ Fv . Pour v ∈ V , u vérifie la condition
7.5(8). On peut fixer k v ∈ K ,v et i v ∈ I de sorte que u(σ) = i v k v σ(i v k v )
−1 pour
tout σ ∈ Γ Fv . Montrons que
(1) on peut supposer k v ∈ K ,v ∩ K
nr
v et i v ∈ I (F
nr
v ) ∩ K
nr
v pour presque tout v.
Preuve. D’après le lemme 7.5, on peut fixer y ∈ ˙
Y [d V ] tel que u soit cohomologue
au cocycle σ → yσ(y)
−1 . Quitte à multiplier y à gauche par un élément de I ( ¯
F ),
on obtient un élément y ∈ G( ¯
F ) tel que u(σ) = yσ(y)
−1 pour tout σ ∈ Γ F . On
fixe un ensemble fini V
de places de F , contenant V , tel que, pour v ∈ V
,
– y ∈ K
nr
v ;
– η ∈ ˜
K v .
Soit v ∈ V
. D’après 5.5(1), on a K ,v = Z(G)
θ (K ,v ∩ K
nr
v ). On peut donc
écrire k v = z v k
v avec z v ∈ Z(G)
θ et k
v ∈ K ,v ∩ K
nr
v . Puisque Z(G)
θ
⊂ I ,
on peut remplacer le couple (i v , k v ) par (i v z v , k
v ). Après ce remplacement, on a
k v ∈ K ,v ∩ K
nr
v . L’égalité i v k v σ(i v k v )
−1 = yσ(y)
−1 pour tout σ ∈ Γ Fv implique
qu’il existe g 1 ∈ G(F v ) tel que y = i v k v g 1 . Posons g = ad kv (g 1 ). Puisque K ,v
normalise G(F v ), on a encore g ∈ G(F v ). On a y = i v gk v . D’où
ad g −1 (η ) = ad kv y −1 iv (η ) = ad kv y −1 (η ) ∈ ad kvy −1 ( ˜
K
nr
v ) = ˜
K
nr
v .
Puisque ad g −1 (η ) ∈ ˜
G(F v ), cela entraîne ad g −1 (η ) ∈ ˜
K v . Comme on l’a expliqué
dans la preuve du lemme 1.6, on peut appliquer les résultats de [79] 5.6. Le (ii)
du lemme de cette référence implique que g ∈ ¯
G (F v )K v . Ecrivons g = xk
, avec
x ∈ ¯
G (F v ) et k
∈ K v . On peut remplacer notre couple (i v , k v ) par (i v x, k
k v ).
Notons simplement (i v , k v ) ce nouveau couple. Il vérifie les mêmes propriétés que
l’ancien mais vérifie de plus y = i v k v . Donc i v k v ∈ K
nr
v . Puisque k v ∈ K
nr
v , cela
entraîne i v ∈ I (F
nr
v ) ∩ K
nr
v .