VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide
881
On a vu que l’image de ˙
Y [d V ] dans H
1 (F ; I ) est l’ensemble des u vérifiant
les conditions (3) et (8) et dont l’image dans H
1 (F ; G) est nulle. Grâce à (9) et
(12), c’est exactement l’ensemble U.
D’après 7.3(1), cette image, c’est-à-dire U, est contenue dans H
1
Z (F ; I ). Il
reste à prouver que c’est un sous-groupe. On vérifie facilement que les applications
composées
H
1 (F ; Z(I )) → H
1 (F ; I ) → H
1
ab (F ; G)
et
H
1 (F ; Z(I )) → H
1 (F ; I ) → H
1
ab (A
V
F ; I )
sont des homomorphismes de groupes. On en déduit que l’ensemble des éléments
de H
1
Z (F ; I ) qui vérifient les conditions (2) et (4) est un sous-groupe de H
1
Z (F ; I ).
D’autre part, pour v ∈ V , on a le diagramme commutatif
H
1 (F ; Z(I )) → H
1 (F ; I )
↓
↓
H
1 (F v ; Z(I )) → H
1 (F v ; I ) .
Un élément de H
1
Z (F ; I ) vérifie (3) si et seulement si c’est l’image d’un élément
de H
1 (F ; Z(I )) dont l’image dans H
1 (F v ; Z(I )) pout v ∈ V appartient au noyau
de l’application du bas. La même preuve qu’en (5) montre que ce noyau est un
groupe. Donc l’ensemble des éléments de H
1
Z (F ; I ) qui vérifient (3) est l’image
d’un sous-groupe de H
1 (F ; Z(I )). Cela conclut.
VII.7.6 Définition d’un homomorphisme q ∞
Considérons les groupes
Q 1 = H
1 (A F /F ; ¯
S sc ), Q 2 = H
0
ab (A F ; G)/ Im(H
0
ab (F ; G)),
Q 3 = H
0
ab (o
V ; G ) =
v ∈V
H
0
ab (o v ; G )
définis en 6.6. Posons
Q × = Q 1 × Q 2 × Q 3 ,
Q 1,2 = I (A F ), Q 1,3 = H
0
ab (o
V ; I /Z(G)
θ ), Q 2,3 = H
0
ab (o
V ; G).
Le groupe Q 1,2 s’envoie naturellement dans G(A F ) lequel s’envoie dans Q 2 . Il s’envoie aussi dans ¯
G ,AD (A F ) puis dans H
0
ab (A F ; ¯
G ,AD ). Ce dernier groupe s’identifie à H
1,0 (A F ; ¯
S sc → S
θ /Z(I )), lequel s’envoie dans H
1 (A F ; ¯
S sc ) puis dans Q 1 .
Puisque I /Z(G)
θ est un sous-groupe de G , Q 1,3 s’envoie naturellement dans Q 3 .
Le groupe Q 1,3 est un sous-groupe de H
0
ab (A F ; I /Z(G)
θ ) que l’on peut identifier à
H
1,0 (A F ; ¯
S sc → S
θ /Z(G)
θ ). Ce dernier s’envoie naturellement dans H
1 (A F ; ¯
S sc )
puis dans Q 1 . Par composition, on obtient un homomorphisme Q 1,3 → Q 1 . Le
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On a vu que l’image de ˙
Y [d V ] dans H
1 (F ; I ) est l’ensemble des u vérifiant
les conditions (3) et (8) et dont l’image dans H
1 (F ; G) est nulle. Grâce à (9) et
(12), c’est exactement l’ensemble U.
D’après 7.3(1), cette image, c’est-à-dire U, est contenue dans H
1
Z (F ; I ). Il
reste à prouver que c’est un sous-groupe. On vérifie facilement que les applications
composées
H
1 (F ; Z(I )) → H
1 (F ; I ) → H
1
ab (F ; G)
et
H
1 (F ; Z(I )) → H
1 (F ; I ) → H
1
ab (A
V
F ; I )
sont des homomorphismes de groupes. On en déduit que l’ensemble des éléments
de H
1
Z (F ; I ) qui vérifient les conditions (2) et (4) est un sous-groupe de H
1
Z (F ; I ).
D’autre part, pour v ∈ V , on a le diagramme commutatif
H
1 (F ; Z(I )) → H
1 (F ; I )
↓
↓
H
1 (F v ; Z(I )) → H
1 (F v ; I ) .
Un élément de H
1
Z (F ; I ) vérifie (3) si et seulement si c’est l’image d’un élément
de H
1 (F ; Z(I )) dont l’image dans H
1 (F v ; Z(I )) pout v ∈ V appartient au noyau
de l’application du bas. La même preuve qu’en (5) montre que ce noyau est un
groupe. Donc l’ensemble des éléments de H
1
Z (F ; I ) qui vérifient (3) est l’image
d’un sous-groupe de H
1 (F ; Z(I )). Cela conclut.
VII.7.6 Définition d’un homomorphisme q ∞
Considérons les groupes
Q 1 = H
1 (A F /F ; ¯
S sc ), Q 2 = H
0
ab (A F ; G)/ Im(H
0
ab (F ; G)),
Q 3 = H
0
ab (o
V ; G ) =
v ∈V
H
0
ab (o v ; G )
définis en 6.6. Posons
Q × = Q 1 × Q 2 × Q 3 ,
Q 1,2 = I (A F ), Q 1,3 = H
0
ab (o
V ; I /Z(G)
θ ), Q 2,3 = H
0
ab (o
V ; G).
Le groupe Q 1,2 s’envoie naturellement dans G(A F ) lequel s’envoie dans Q 2 . Il s’envoie aussi dans ¯
G ,AD (A F ) puis dans H
0
ab (A F ; ¯
G ,AD ). Ce dernier groupe s’identifie à H
1,0 (A F ; ¯
S sc → S
θ /Z(I )), lequel s’envoie dans H
1 (A F ; ¯
S sc ) puis dans Q 1 .
Puisque I /Z(G)
θ est un sous-groupe de G , Q 1,3 s’envoie naturellement dans Q 3 .
Le groupe Q 1,3 est un sous-groupe de H
0
ab (A F ; I /Z(G)
θ ) que l’on peut identifier à
H
1,0 (A F ; ¯
S sc → S
θ /Z(G)
θ ). Ce dernier s’envoie naturellement dans H
1 (A F ; ¯
S sc )
puis dans Q 1 . Par composition, on obtient un homomorphisme Q 1,3 → Q 1 . Le