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Chapitre VII. Descente globale
est un triangle exact dans la catégorie des complexes de tores. On en déduit une
suite exacte
(10)
H
1,0 (o v ; T → T /Z(G)
θ ) → H
2,1,0 (o v ; T → T
1−θ
→ (1 − θ)(T ))
→ H
2,1,0 (o v ; T → T /Z(G)
θ 1−θ
→ (1 − θ)(T )).
D’autre part, le diagramme
T → T
θ /Z(G)
θ
↓
↓
T → T /Z(G)
θ
1−θ
→ (1 − θ)(T )
induit un isomorphisme de cohomologie
H
2,1 (o v ; T → T
θ /Z(G)
θ ) H
2,1,0 (o v ; T → T /Z(G)
θ 1−θ
→ (1 − θ)(T )).
Or le premier groupe est nul ([48] lemme C.1.A). On en déduit que le premier
homomorphisme de la suite (10) est surjectif. Cet homomorphisme se récrit
H
0
ab (o v ; G ) → H
1
ab (o v ; I )
où on rappelle que G = G/Z(G)
θ . L’ensemble de départ est un sous-groupe
de H
0
ab (F v ; G ), lequel est un quotient de G (F v ). L’assertion 1.5(2) équivaut à
dire que H
0
ab (o v ; G ) est l’image de K ,v dans H
0
ab (F v ; G ). Puisque K ,v s’envoie
surjectivement sur K ,v , on obtient une application surjective
(11)
K ,v → H
1
ab (o v ; I ).
On a alors deux façons d’envoyer K ,v dans H
1 (F v , I ). D’abord celle de la relation
(8) : à k ∈ K ,v on associe le cocycle σ → kσ(k)
−1 . On peut aussi envoyer k en
un élément de H
1
ab (o v , I ) par l’application précédente, puis on relève celui-ci en
un élément de H
1 (F v , I ) en utilisant la bijectivité de l’application H
1 (F v , I ) →
H
1
ab (F v , I ) ([51] prop. 1.6.7). En inspectant les définitions, on s’aperçoit que les
deux applications obtenues coïncident. Puisque l’application (11) est surjective, la
condition (8) équivaut donc à ce que l’image de u dans H
1
ab (F v ; I ) appartienne à
H
1
ab (o v ; I ), ce qui est la condition (4). Cela prouve (9).
Montrons que, pour u ∈ H
1 (F ; I ) vérifiant les conditions (3) et (4), on a
(12) l’image de u dans H
1 (F ; G) est nulle si et seulement si son image dans
H
1
ab (F ; G) est nulle.
La première condition implique la seconde. Inversement, notre élément u
vérifie (8) d’après (9). Cela entraîne que, pour v ∈ V , son image dans H
1 (F v ; G)
est nulle. En ajoutant (3), l’image de u dans H
1 (A F ; G) est nulle. Si de plus l’image
de u dans H
1
ab (F ; G) est nulle, son image dans le terme sud-est du diagramme (1)
est nulle. Or l’application du bas de ce diagramme est bijective ([51] théorème
1.6.10). Donc l’image de u dans H
1 (F ; G) est nulle. Cela prouve (12).
Chapitre VII. Descente globale
est un triangle exact dans la catégorie des complexes de tores. On en déduit une
suite exacte
(10)
H
1,0 (o v ; T → T /Z(G)
θ ) → H
2,1,0 (o v ; T → T
1−θ
→ (1 − θ)(T ))
→ H
2,1,0 (o v ; T → T /Z(G)
θ 1−θ
→ (1 − θ)(T )).
D’autre part, le diagramme
T → T
θ /Z(G)
θ
↓
↓
T → T /Z(G)
θ
1−θ
→ (1 − θ)(T )
induit un isomorphisme de cohomologie
H
2,1 (o v ; T → T
θ /Z(G)
θ ) H
2,1,0 (o v ; T → T /Z(G)
θ 1−θ
→ (1 − θ)(T )).
Or le premier groupe est nul ([48] lemme C.1.A). On en déduit que le premier
homomorphisme de la suite (10) est surjectif. Cet homomorphisme se récrit
H
0
ab (o v ; G ) → H
1
ab (o v ; I )
où on rappelle que G = G/Z(G)
θ . L’ensemble de départ est un sous-groupe
de H
0
ab (F v ; G ), lequel est un quotient de G (F v ). L’assertion 1.5(2) équivaut à
dire que H
0
ab (o v ; G ) est l’image de K ,v dans H
0
ab (F v ; G ). Puisque K ,v s’envoie
surjectivement sur K ,v , on obtient une application surjective
(11)
K ,v → H
1
ab (o v ; I ).
On a alors deux façons d’envoyer K ,v dans H
1 (F v , I ). D’abord celle de la relation
(8) : à k ∈ K ,v on associe le cocycle σ → kσ(k)
−1 . On peut aussi envoyer k en
un élément de H
1
ab (o v , I ) par l’application précédente, puis on relève celui-ci en
un élément de H
1 (F v , I ) en utilisant la bijectivité de l’application H
1 (F v , I ) →
H
1
ab (F v , I ) ([51] prop. 1.6.7). En inspectant les définitions, on s’aperçoit que les
deux applications obtenues coïncident. Puisque l’application (11) est surjective, la
condition (8) équivaut donc à ce que l’image de u dans H
1
ab (F v ; I ) appartienne à
H
1
ab (o v ; I ), ce qui est la condition (4). Cela prouve (9).
Montrons que, pour u ∈ H
1 (F ; I ) vérifiant les conditions (3) et (4), on a
(12) l’image de u dans H
1 (F ; G) est nulle si et seulement si son image dans
H
1
ab (F ; G) est nulle.
La première condition implique la seconde. Inversement, notre élément u
vérifie (8) d’après (9). Cela entraîne que, pour v ∈ V , son image dans H
1 (F v ; G)
est nulle. En ajoutant (3), l’image de u dans H
1 (A F ; G) est nulle. Si de plus l’image
de u dans H
1
ab (F ; G) est nulle, son image dans le terme sud-est du diagramme (1)
est nulle. Or l’application du bas de ce diagramme est bijective ([51] théorème
1.6.10). Donc l’image de u dans H
1 (F ; G) est nulle. Cela prouve (12).