VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide
879
Donc z 1 z 2 ∈ Ker. On a aussi
z 1 (σ)
−1 = i
−1
1 z 1 (σ)
−1 i 1 = i
−1
1 σ(i 1 )i
−1
1 i 1 = i
−1
1 σ(i 1 ).
Donc z
−1
1
∈ Ker et Ker est bien un sous-groupe. Soient z 1 et z 2 deux éléments
de H
1 (F ; Z(I )), que l’on relève en des cocycles. Leurs images dans H
1 (F ; I )
coïncident si et seulement s’il existe i ∈ I de sorte que, pour tout σ ∈ Γ F , on
ait z 1 (σ) = iz 2 (σ)σ(i)
−1 . Parce que z 2 est à valeurs centrales, cela équivaut à
z 1 (σ)z 2 (σ)
−1 = iσ(i)
−1 . Mais l’existence de i vérifiant cette condition équivaut à
z 1 z
−1
2 ∈ Ker. D’où la seconde assertion de (5).
Notons H
1
Z (F ; I ) l’image de H
1 (F ; Z(I )) dans H
1 (F ; I ). Grâce à (5), cet
ensemble est naturellement un groupe. On définit une application Y → H
1 (F ; I )
qui, à y ∈ Y [d V ], associe la classe du cocycle σ → yσ(y)
−1 .
Lemme. Cette application se restreint en une bijection de ˙
Y [d V ] sur U. L’ensemble U est un sous-groupe de H
1
Z (F ; I ).
Preuve. Il est immédiat que notre application se quotiente en une bijection de
(6)
I ( ¯
F )\Y /G(F )
dans le noyau de l’application
(7)
H
1 (F ; I ) → H
1 (F ; G).
Rappelons que ˙
Y [d V ] est un ensemble de représentants de l’image de Y [d V ] ⊂ Y
dans l’ensemble de doubles classes (6). L’application se restreint donc en une
injection de ˙
Y [d V ] dans le noyau de (7). D’après la définition de 7.3, son image
est formée des éléments u de ce noyau qui vérifient la condition (3) et
(8) pour tout v ∈ V , il existe k ∈ K ,v tel que l’image de u dans H
1 (F v ; I ) soit
cohomologue au cocycle σ → kσ(k)
−1 .
Rappelons que, par définition de K ,v , ce dernier cocycle prend ses valeurs
dans Z(G)
θ
⊂ Z(I ). Montrons que
(9) les conditions (4) et (8) sont équivalentes.
Soit v ∈ V . Fixons un sous-tore maximal T de ¯
G défini sur F v et non
ramifié. Notons T son commutant dans G et T l’image réciproque de T dans
¯
G ,SC . Par définition
H
1
ab (o v ; I) = H
2,1,0 (o v ; T → T
1−θ
→ (1 − θ)(T )).
Le diagramme
T →
T
1−θ
→ (1 − θ)(T )
↓
↓
↓
T → T /Z(G)
θ
1−θ
→ (1 − θ)(T )
↓
↓
T
→ T /Z(G)
θ
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Donc z 1 z 2 ∈ Ker. On a aussi
z 1 (σ)
−1 = i
−1
1 z 1 (σ)
−1 i 1 = i
−1
1 σ(i 1 )i
−1
1 i 1 = i
−1
1 σ(i 1 ).
Donc z
−1
1
∈ Ker et Ker est bien un sous-groupe. Soient z 1 et z 2 deux éléments
de H
1 (F ; Z(I )), que l’on relève en des cocycles. Leurs images dans H
1 (F ; I )
coïncident si et seulement s’il existe i ∈ I de sorte que, pour tout σ ∈ Γ F , on
ait z 1 (σ) = iz 2 (σ)σ(i)
−1 . Parce que z 2 est à valeurs centrales, cela équivaut à
z 1 (σ)z 2 (σ)
−1 = iσ(i)
−1 . Mais l’existence de i vérifiant cette condition équivaut à
z 1 z
−1
2 ∈ Ker. D’où la seconde assertion de (5).
Notons H
1
Z (F ; I ) l’image de H
1 (F ; Z(I )) dans H
1 (F ; I ). Grâce à (5), cet
ensemble est naturellement un groupe. On définit une application Y → H
1 (F ; I )
qui, à y ∈ Y [d V ], associe la classe du cocycle σ → yσ(y)
−1 .
Lemme. Cette application se restreint en une bijection de ˙
Y [d V ] sur U. L’ensemble U est un sous-groupe de H
1
Z (F ; I ).
Preuve. Il est immédiat que notre application se quotiente en une bijection de
(6)
I ( ¯
F )\Y /G(F )
dans le noyau de l’application
(7)
H
1 (F ; I ) → H
1 (F ; G).
Rappelons que ˙
Y [d V ] est un ensemble de représentants de l’image de Y [d V ] ⊂ Y
dans l’ensemble de doubles classes (6). L’application se restreint donc en une
injection de ˙
Y [d V ] dans le noyau de (7). D’après la définition de 7.3, son image
est formée des éléments u de ce noyau qui vérifient la condition (3) et
(8) pour tout v ∈ V , il existe k ∈ K ,v tel que l’image de u dans H
1 (F v ; I ) soit
cohomologue au cocycle σ → kσ(k)
−1 .
Rappelons que, par définition de K ,v , ce dernier cocycle prend ses valeurs
dans Z(G)
θ
⊂ Z(I ). Montrons que
(9) les conditions (4) et (8) sont équivalentes.
Soit v ∈ V . Fixons un sous-tore maximal T de ¯
G défini sur F v et non
ramifié. Notons T son commutant dans G et T l’image réciproque de T dans
¯
G ,SC . Par définition
H
1
ab (o v ; I) = H
2,1,0 (o v ; T → T
1−θ
→ (1 − θ)(T )).
Le diagramme
T →
T
1−θ
→ (1 − θ)(T )
↓
↓
↓
T → T /Z(G)
θ
1−θ
→ (1 − θ)(T )
↓
↓
T
→ T /Z(G)
θ