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Chapitre VII. Descente globale
Puisque V ⊃ V ram , ω est trivial sur ad h,v (K v ) ∩ I (F v ). La donnée H est
non ramifiée hors de V . Donc le caractère ω H est trivial sur K ,ad,v . D’après (4),
le caractère de I (F v ) qui s’en déduit est trivial sur ad h,v (K v ) ∩ I (F v ).
Achevons la preuve du lemme. Supposons ¯
ϕ[V
, d V ] = 0. On a vu que cela
impliquait que ω et ω H coïncidaient sur I (F V ) et sur ¯
G (F
V
V ). Ces caractères
coïncident aussi sur K ,v pour v ∈ V . Puisque ces caractères sont automorphes, la
condition (2) implique qu’ils coïncident sur tout ¯
G (A F ). Pour v ∈ V , la propriété
(3) et le fait qu’ils sont triviaux sur ad h,v (K v ) ∩ I (F v ) impliquent alors qu’ils
coïncident sur I (F v ). Donc ils coïncident sur I (A F ), ce qui prouve le lemme.
VII.7.5 Description de l’ensemble ˙
Y [d V ]
Les ensembles H
1
ab (F, G) et H
1 (A F , G) s’envoient naturellement dans H
1
ab (A F ; G).
On note
H
1
ab (F, G) × H 1
ab (AF ;G) H
1 (A F , G)
leur produit fibré au-dessus de H
1
ab (A F ; G). On a un diagramme commutatif
(1)
H
1 (F ; I ) → H
1
ab (F, I ) × H 1
ab (AF ;I) H
1 (A F , I )
↓
↓
H
1 (F ; G) → H
1
ab (F, G) × H 1
ab (AF ;G) H
1 (A F , G) .
Soit v une place finie de F . Alors l’application naturelle H
1 (F v ; I ) → H
1
ab (F v ; I )
est bijective ([51] proposition 1.6.7). Supposons v ∈ V . Alors le groupe I est
non ramifié et on définit le sous-groupe H
1
ab (o v ; I ) ⊂ H
1
ab (F v ; I ). Rappelons
que H
1
ab (A F ; I ) s’identifie au produit restreint des H
1
ab (F v ; I ) relativement à ces
sous-groupes. On note H
1
ab (o
V ; I ) le produit des H
1
ab (o v ; I ) sur toutes les places
v ∈ V .
Notons U le sous-ensemble des u ∈ H
1 (F ; I ) qui vérifient les trois conditions
(2) l’image de u dans H
1
ab (F ; G) par l’application issue du diagramme (1) est
nulle ;
(3) pour v ∈ V , l’image de u dans H
1 (F v ; I ) est nulle ;
(4) l’image de u dans H
1
ab (A
V
F ; I ) appartient à H
1
ab (o
V ; I ).
On a une application naturelle H
1 (F ; Z(I )) → H
1 (F ; I ). Montrons que
(5) son noyau Ker est un sous-groupe et l’application se quotiente en une injection
H
1 (F ; Z(I ))/ Ker → H
1 (F ; I ).
Preuve. Soient z 1 et z 2 deux éléments de Ker, que l’on relève en des cocycles. On
peut choisir i 1 et i 2 dans I tels que, pour j = 1, 2 et pour tout σ ∈ Γ F , on ait
z j (σ) = i j σ(i j )
−1 . Puisque z 2 (σ) est central dans I , on a
z 1 (σ)z 2 (σ) = i 1 σ(i 1 )
−1 z 2 (σ) = i 1 z 2 (σ)σ(i 1 )
−1 = i 1 i 2 σ(i 1 i 2 )
−1 .
Chapitre VII. Descente globale
Puisque V ⊃ V ram , ω est trivial sur ad h,v (K v ) ∩ I (F v ). La donnée H est
non ramifiée hors de V . Donc le caractère ω H est trivial sur K ,ad,v . D’après (4),
le caractère de I (F v ) qui s’en déduit est trivial sur ad h,v (K v ) ∩ I (F v ).
Achevons la preuve du lemme. Supposons ¯
ϕ[V
, d V ] = 0. On a vu que cela
impliquait que ω et ω H coïncidaient sur I (F V ) et sur ¯
G (F
V
V ). Ces caractères
coïncident aussi sur K ,v pour v ∈ V . Puisque ces caractères sont automorphes, la
condition (2) implique qu’ils coïncident sur tout ¯
G (A F ). Pour v ∈ V , la propriété
(3) et le fait qu’ils sont triviaux sur ad h,v (K v ) ∩ I (F v ) impliquent alors qu’ils
coïncident sur I (F v ). Donc ils coïncident sur I (A F ), ce qui prouve le lemme.
VII.7.5 Description de l’ensemble ˙
Y [d V ]
Les ensembles H
1
ab (F, G) et H
1 (A F , G) s’envoient naturellement dans H
1
ab (A F ; G).
On note
H
1
ab (F, G) × H 1
ab (AF ;G) H
1 (A F , G)
leur produit fibré au-dessus de H
1
ab (A F ; G). On a un diagramme commutatif
(1)
H
1 (F ; I ) → H
1
ab (F, I ) × H 1
ab (AF ;I) H
1 (A F , I )
↓
↓
H
1 (F ; G) → H
1
ab (F, G) × H 1
ab (AF ;G) H
1 (A F , G) .
Soit v une place finie de F . Alors l’application naturelle H
1 (F v ; I ) → H
1
ab (F v ; I )
est bijective ([51] proposition 1.6.7). Supposons v ∈ V . Alors le groupe I est
non ramifié et on définit le sous-groupe H
1
ab (o v ; I ) ⊂ H
1
ab (F v ; I ). Rappelons
que H
1
ab (A F ; I ) s’identifie au produit restreint des H
1
ab (F v ; I ) relativement à ces
sous-groupes. On note H
1
ab (o
V ; I ) le produit des H
1
ab (o v ; I ) sur toutes les places
v ∈ V .
Notons U le sous-ensemble des u ∈ H
1 (F ; I ) qui vérifient les trois conditions
(2) l’image de u dans H
1
ab (F ; G) par l’application issue du diagramme (1) est
nulle ;
(3) pour v ∈ V , l’image de u dans H
1 (F v ; I ) est nulle ;
(4) l’image de u dans H
1
ab (A
V
F ; I ) appartient à H
1
ab (o
V ; I ).
On a une application naturelle H
1 (F ; Z(I )) → H
1 (F ; I ). Montrons que
(5) son noyau Ker est un sous-groupe et l’application se quotiente en une injection
H
1 (F ; Z(I ))/ Ker → H
1 (F ; I ).
Preuve. Soient z 1 et z 2 deux éléments de Ker, que l’on relève en des cocycles. On
peut choisir i 1 et i 2 dans I tels que, pour j = 1, 2 et pour tout σ ∈ Γ F , on ait
z j (σ) = i j σ(i j )
−1 . Puisque z 2 (σ) est central dans I , on a
z 1 (σ)z 2 (σ) = i 1 σ(i 1 )
−1 z 2 (σ) = i 1 z 2 (σ)σ(i 1 )
−1 = i 1 i 2 σ(i 1 i 2 )
−1 .