VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide
877
Soient de nouveau y ∈ ˙
Y [d V ] et u ∈ U[V
, y]. Rappelons que l’on a supposé 1 ∈ U[V
, y]. Par construction, le rapport Δ V [y, u]/Δ V [y, 1] est égal au
produit sur les places v ∈ V
− V des rapports de facteurs locaux normalisés
Δ v [y, 1]/Δ v [y, u v ]. Le facteur Δ v [y, 1] est relatif au sous-groupe compact K sc,v [y, 1]
et le facteur Δ v [y, u] est relatif au sous-groupe K sc,v [y, u] = ad uv (K sc,v [y, 1]).
Pour ¯
y ∈ ¯
H(F v ) et x ∈ G η[y],SC (F v ), on a par simple transport de structure
l’égalité Δ v [y, u](¯ y, ad uv (x)) = Δ v [y, 1](¯ y, x). Mais le premier terme est égal à
ω H (u v )
−1 Δ v [y, u](¯ y, x). On en déduit
Δ v [y, 1]/Δ v [y, u v ] = ω H (u v )
−1 puis Δ V [y, u]/Δ V [y, 1] = ω H (u)
−1 .
Donc ¯
f [y, u] = ω H (u)
−1 ¯
f [y, u]. Dans la définition 7.1(3), la somme en u se récrit
donc
ω(h[y]) ¯
f [y, 1]
u∈U [V ,y]
ω(u)ω H (u)
−1 .
Remarquons que les deux caractères ω et ω H sont évidemment triviaux sur
G η[y],SC (F
V
V ) et le sont aussi sur Z(G η[y] ; F
V
V ) : pour ω H , cela résulte de sa
construction comme image réciproque d’un caractère de G η[y],AD (F
V
V ) ; pour ω,
cela résulte de l’hypothèse 5.1(4). La somme en u ci-dessus est donc égale à la
somme des valeurs d’un caractère du groupe quotient
G η[y] (F
V
V )/Z(G η[y] ; F
V
V )G η[y],SC (F
V
V ).
Elle est nulle si ce caractère n’est pas trivial, autrement dit si ω et ω H ne coïncident
pas sur G η[y] (F
V
V ). De nouveau, cela équivaut à ce que les caractères correspondant
de ¯
G (F
V
V ) sont distincts. On obtient que ¯
ϕ[V
, d V ] = 0 si les deux caractères ω H
et ω de ¯
G (F
V
V ) sont distincts.
Soit v ∈ V . Comme on l’a expliqué dans la preuve du lemme 1.6, les conditions imposées à V nous autorisent à appliquer les résultats de [79]. Le lemme
5.6(ii) de cette référence implique
(3) I (F v ) = ¯
G (F v )(ad h,v (K v ) ∩ I (F v )).
Du groupe K ,v se déduit un sous-groupe compact hyperspécial K ,ad,v de
¯
G ,AD (F v ). Montrons que
(4) l’image de ad h,v (K v ) ∩ I (F v ) dans ¯
G ,AD (F v ) est contenue dans K ,ad,v .
On a dit dans la preuve du lemme 5.5 que l’application
Z(G)
θ
p → ad h,v (K
nr
v ) ∩ ¯
G \ ad h,v (K
nr
v ) ∩ I
était surjective. Il en résulte que l’image de ad h,v (K v ) ∩ I (F v ) dans ¯
G ,AD (F v )
est contenue dans celle de ad h,v (K
nr
v ) ∩ ¯
G , c’est-à-dire celle de K
nr
,v . Celle-ci
est contenue dans K
nr
,ad,v . L’intersection de ce groupe avec ¯
G ,AD (F v ) est égale à
K ,ad,v , d’où (4).
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Soient de nouveau y ∈ ˙
Y [d V ] et u ∈ U[V
, y]. Rappelons que l’on a supposé 1 ∈ U[V
, y]. Par construction, le rapport Δ V [y, u]/Δ V [y, 1] est égal au
produit sur les places v ∈ V
− V des rapports de facteurs locaux normalisés
Δ v [y, 1]/Δ v [y, u v ]. Le facteur Δ v [y, 1] est relatif au sous-groupe compact K sc,v [y, 1]
et le facteur Δ v [y, u] est relatif au sous-groupe K sc,v [y, u] = ad uv (K sc,v [y, 1]).
Pour ¯
y ∈ ¯
H(F v ) et x ∈ G η[y],SC (F v ), on a par simple transport de structure
l’égalité Δ v [y, u](¯ y, ad uv (x)) = Δ v [y, 1](¯ y, x). Mais le premier terme est égal à
ω H (u v )
−1 Δ v [y, u](¯ y, x). On en déduit
Δ v [y, 1]/Δ v [y, u v ] = ω H (u v )
−1 puis Δ V [y, u]/Δ V [y, 1] = ω H (u)
−1 .
Donc ¯
f [y, u] = ω H (u)
−1 ¯
f [y, u]. Dans la définition 7.1(3), la somme en u se récrit
donc
ω(h[y]) ¯
f [y, 1]
u∈U [V ,y]
ω(u)ω H (u)
−1 .
Remarquons que les deux caractères ω et ω H sont évidemment triviaux sur
G η[y],SC (F
V
V ) et le sont aussi sur Z(G η[y] ; F
V
V ) : pour ω H , cela résulte de sa
construction comme image réciproque d’un caractère de G η[y],AD (F
V
V ) ; pour ω,
cela résulte de l’hypothèse 5.1(4). La somme en u ci-dessus est donc égale à la
somme des valeurs d’un caractère du groupe quotient
G η[y] (F
V
V )/Z(G η[y] ; F
V
V )G η[y],SC (F
V
V ).
Elle est nulle si ce caractère n’est pas trivial, autrement dit si ω et ω H ne coïncident
pas sur G η[y] (F
V
V ). De nouveau, cela équivaut à ce que les caractères correspondant
de ¯
G (F
V
V ) sont distincts. On obtient que ¯
ϕ[V
, d V ] = 0 si les deux caractères ω H
et ω de ¯
G (F
V
V ) sont distincts.
Soit v ∈ V . Comme on l’a expliqué dans la preuve du lemme 1.6, les conditions imposées à V nous autorisent à appliquer les résultats de [79]. Le lemme
5.6(ii) de cette référence implique
(3) I (F v ) = ¯
G (F v )(ad h,v (K v ) ∩ I (F v )).
Du groupe K ,v se déduit un sous-groupe compact hyperspécial K ,ad,v de
¯
G ,AD (F v ). Montrons que
(4) l’image de ad h,v (K v ) ∩ I (F v ) dans ¯
G ,AD (F v ) est contenue dans K ,ad,v .
On a dit dans la preuve du lemme 5.5 que l’application
Z(G)
θ
p → ad h,v (K
nr
v ) ∩ ¯
G \ ad h,v (K
nr
v ) ∩ I
était surjective. Il en résulte que l’image de ad h,v (K v ) ∩ I (F v ) dans ¯
G ,AD (F v )
est contenue dans celle de ad h,v (K
nr
v ) ∩ ¯
G , c’est-à-dire celle de K
nr
,v . Celle-ci
est contenue dans K
nr
,ad,v . L’intersection de ce groupe avec ¯
G ,AD (F v ) est égale à
K ,ad,v , d’où (4).