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Chapitre VII. Descente globale
VII.7.4 Une première propriété de nullité
La donnée H de ¯
G SC définit un caractère automorphe de ¯
G AD (A F ) (cf. [I] 2.7), que
nous notons ici ω H . Il se transporte en un caractère automorphe de ¯
G ,AD (A F ).
On a un homomorphisme naturel I (A F ) → ¯
G ,AD (A F ) grâce auquel le caractère
ω H devient un caractère de I (A F ). De même, pour y ∈ ˙
Y (d V ], on a un caractère
de I η[y] (A F ) que l’on note encore ω H et qui n’est autre que le composé du caractère
de I (A F ) par l’isomorphisme ad y entre ces deux groupes. On a aussi le caractère
ω qui se restreint à chacun des groupes I η[y] (A F ) et I (A F ).
Remarquons que
(1) l’isomorphisme ad y conserve le caractère ω.
En effet, soient v ∈ Val(F ) et x ∈ I η[y] (F v ). Le commutateur ad y (x)x
−1
est l’image naturelle de l’élément ad ysc (x sc )x
−1
sc de G SC , où y sc et x sc sont des
éléments de G SC ayant même image que y et x dans G AD . Pour σ ∈ Γ Fv , la
condition que yσ(y)
−1 commute à I , cf. 7.3(1), implique que σ(y sc )
−1 y sc commute
à x sc . Puisque de plus σ(x sc ) ∈ Z(G SC )x sc , on vérifie que ad ysc (x sc )x
−1
sc est fixe
par σ, donc ad ysc (x sc )x
−1
sc ∈ G SC (F v ). Le caractère ω est trivial sur ce groupe.
Donc ω(ad y (x)x
−1 ) = 1, ce qui prouve l’assertion (1).
Pour v ∈ V , posons K ,v = ad h,v (K v ) ∩ ¯
G (F v ). C’est un sous-groupe compact hyperspécial de de ¯
G (F v ). Imposons à l’ensemble de places V
de 7.1 la
condition
(2) l’ensemble ¯
G (F ) ¯
G (F V )
v ∈V K ,v est dense dans ¯
G (A F ).
Lemme. Si ω H et ω ne coïncident pas sur I (A F ), alors ¯
ϕ[V
, d V ] = 0.
Preuve. Soient y ∈ ˙
Y [d V ] et u ∈ U[V
, y]. Rappelons la construction de la fonction
¯
f [y, u]. On descend la fonction f en une fonction, disons f [y], sur G η[y] (F V ). On
définit la fonction f [y] sc sur G η[y],SC (F V ) par f [y] sc = ι G η[y],SC ,G η[y] (f [y]). Alors
¯
f [y, u] est le transfert de f [y] sc à ¯
H(F V ) pour le facteur de transfert Δ V [y, u]. Notons que cette construction ne dépend que de l’image de f dans I( ˜
G(F V ), ω). Le
groupe Z G (η[y]; F V ) agit naturellement sur I(G η[y],SC (F V )). Parce que l’on part
d’un élément de I( ˜
G(F V ), ω), la fonction f [y] sc appartient au sous-espace isotypique de I(G η[y],SC (F V )) sur lequel Z G (η[y]; F V ) agit par le caractère ω. Le groupe
G η[y],AD (F V ) agit aussi sur G η[y],SC (F V ) et sur I(G η[y],SC (F V )). Par cette action,
le facteur de transfert Δ V [y, u] se transforme par le caractère ω
−1
H . Donc le transfert se factorise par la projection sur le sous-espace isotypique de I(G η[y],SC (F V ))
sur lequel G η[y],AD (F V ) agit par le caractère ω H . Le groupe I η[y] (F V ) s’envoie à
la fois dans Z G (η[y]; F V ) et dans G η[y],AD (F V ) et les deux actions coïncident sur
ce groupe. Cela entraîne que le transfert ¯
f [y, u] de f [y] sc est nul si les deux caractères ne coïncident pas sur I η[y] (F V ). D’après (1), cette condition de coïncidence
équivaut à la même condition portant sur les caractères de I (F V ). On obtient que
¯
ϕ[V
, d V ] = 0 si les deux caractères ω H et ω de I (F V ) sont distincts.
Chapitre VII. Descente globale
VII.7.4 Une première propriété de nullité
La donnée H de ¯
G SC définit un caractère automorphe de ¯
G AD (A F ) (cf. [I] 2.7), que
nous notons ici ω H . Il se transporte en un caractère automorphe de ¯
G ,AD (A F ).
On a un homomorphisme naturel I (A F ) → ¯
G ,AD (A F ) grâce auquel le caractère
ω H devient un caractère de I (A F ). De même, pour y ∈ ˙
Y (d V ], on a un caractère
de I η[y] (A F ) que l’on note encore ω H et qui n’est autre que le composé du caractère
de I (A F ) par l’isomorphisme ad y entre ces deux groupes. On a aussi le caractère
ω qui se restreint à chacun des groupes I η[y] (A F ) et I (A F ).
Remarquons que
(1) l’isomorphisme ad y conserve le caractère ω.
En effet, soient v ∈ Val(F ) et x ∈ I η[y] (F v ). Le commutateur ad y (x)x
−1
est l’image naturelle de l’élément ad ysc (x sc )x
−1
sc de G SC , où y sc et x sc sont des
éléments de G SC ayant même image que y et x dans G AD . Pour σ ∈ Γ Fv , la
condition que yσ(y)
−1 commute à I , cf. 7.3(1), implique que σ(y sc )
−1 y sc commute
à x sc . Puisque de plus σ(x sc ) ∈ Z(G SC )x sc , on vérifie que ad ysc (x sc )x
−1
sc est fixe
par σ, donc ad ysc (x sc )x
−1
sc ∈ G SC (F v ). Le caractère ω est trivial sur ce groupe.
Donc ω(ad y (x)x
−1 ) = 1, ce qui prouve l’assertion (1).
Pour v ∈ V , posons K ,v = ad h,v (K v ) ∩ ¯
G (F v ). C’est un sous-groupe compact hyperspécial de de ¯
G (F v ). Imposons à l’ensemble de places V
de 7.1 la
condition
(2) l’ensemble ¯
G (F ) ¯
G (F V )
v ∈V K ,v est dense dans ¯
G (A F ).
Lemme. Si ω H et ω ne coïncident pas sur I (A F ), alors ¯
ϕ[V
, d V ] = 0.
Preuve. Soient y ∈ ˙
Y [d V ] et u ∈ U[V
, y]. Rappelons la construction de la fonction
¯
f [y, u]. On descend la fonction f en une fonction, disons f [y], sur G η[y] (F V ). On
définit la fonction f [y] sc sur G η[y],SC (F V ) par f [y] sc = ι G η[y],SC ,G η[y] (f [y]). Alors
¯
f [y, u] est le transfert de f [y] sc à ¯
H(F V ) pour le facteur de transfert Δ V [y, u]. Notons que cette construction ne dépend que de l’image de f dans I( ˜
G(F V ), ω). Le
groupe Z G (η[y]; F V ) agit naturellement sur I(G η[y],SC (F V )). Parce que l’on part
d’un élément de I( ˜
G(F V ), ω), la fonction f [y] sc appartient au sous-espace isotypique de I(G η[y],SC (F V )) sur lequel Z G (η[y]; F V ) agit par le caractère ω. Le groupe
G η[y],AD (F V ) agit aussi sur G η[y],SC (F V ) et sur I(G η[y],SC (F V )). Par cette action,
le facteur de transfert Δ V [y, u] se transforme par le caractère ω
−1
H . Donc le transfert se factorise par la projection sur le sous-espace isotypique de I(G η[y],SC (F V ))
sur lequel G η[y],AD (F V ) agit par le caractère ω H . Le groupe I η[y] (F V ) s’envoie à
la fois dans Z G (η[y]; F V ) et dans G η[y],AD (F V ) et les deux actions coïncident sur
ce groupe. Cela entraîne que le transfert ¯
f [y, u] de f [y] sc est nul si les deux caractères ne coïncident pas sur I η[y] (F V ). D’après (1), cette condition de coïncidence
équivaut à la même condition portant sur les caractères de I (F V ). On obtient que
¯
ϕ[V
, d V ] = 0 si les deux caractères ω H et ω de I (F V ) sont distincts.