VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide
875
On pose Y = Y η . Rappelons que c’est l’ensemble des y ∈ G( ¯
F ) tels que
yσ(y)
−1
∈ I . Pour y ∈ Y , posons η[y] = ad y −1 (η ). L’application y → (η[y], r y)
est une bijection de Y sur D F (la preuve est la même qu’en 5.4(4)). Grâce au
lemme 5.5, l’inverse de cette bijection identifie le sous-ensemble D F [d V ] ⊂ D F au
sous-ensemble des y ∈ Y tels que
– pour tout v ∈ V , y ∈ I ( ¯
F v )G(F v ) ;
– pour tout v ∈ V , y ∈ I ( ¯
F v )K ,v G(F v ).
On note Y [d V ] cet ensemble. L’inverse de la bijection ci-dessus identifie
˙
D F [d V ] à un ensemble de représentants de l’ensemble de doubles classes
I ( ¯
F )\Y [d V ]/G(F ).
On note cet ensemble ˙
Y [d V ].
On a
(1) pour tout y ∈ Y [d V ], il existe y
∈ I ( ¯
F )y tel que y
σ(y
)
−1 appartienne au
centre de I pour tout σ ∈ Γ F .
Preuve. Pour y ∈ Y [d V ], notons χ y le cocycle σ → yσ(y)
−1 de Γ F dans I et
χ y,ad son image naturelle à valeurs dans ¯
G ,AD . L’automorphisme ad y se restreint
en un torseur intérieur de G η[y] sur ¯
G . La classe d’isomorphisme de G η[y] est
déterminé par l’élément χ y,ad ∈ H
1 (Γ F ; ¯
G ,AD ). Or, par définition de Y [d V ], ce
cocycle est localement un cobord en toute place v ∈ Val(F ). Parce que le groupe
¯
G ,AD est adjoint, l’application
H
1 (F ; ¯
G ,AD ) → ⊕ v∈Val(F ) H
1 (F v ; ¯
G ,AD )
est injective ([71] corollaire 5.4). Donc χ y,ad est un cobord. Quitte à multiplier y à
gauche par un élément de ¯
G ( ¯
F ) ⊂ I ( ¯
F ), on peut donc supposer que χ y,ad (σ) = 1
pour tout σ ∈ Γ F . Cela entraîne que χ y (σ) appartient au centre de I .
Remarquons que la propriété de y
entraîne que ad y se restreint en un isomorphisme défini sur F de I η[y] sur I .
Par la bijection de Y [d V ] sur D F [d V ], la multiplication à gauche par I ( ¯
F )
correspond à la multiplication à gauche par I η ( ¯
F ). On voit qu’une telle multiplication ne modifie pas les termes intervenant dans la définition de la fonction
¯
ϕ[V
, d V ]. En conséquence, on peut supposer que tous les éléments de l’ensemble
de représentants ˙
Y [d V ] satisfont la conclusion de (1). On ne perd rien non plus à
supposer que d appartient à l’ensemble ˙
D F [d V ]. Il revient au même de supposer
que 1 appartient à ˙
Y [d V ]. Pour d ∈ ˙
D F [d V ], on a défini en 7.1 des termes h[d],
U[V
, d] et, pour u ∈ U[V
, d], des termes K sc,v [d, u], Δ V [d, u], ¯
f [d, u]. Si d correspond à y ∈ ˙
Y [d V ], on note aussi ces termes h[y], U[V
, y], K sc,v [y, u], Δ V [y, u] et
¯
f [y, u]. On fera une exception pour le terme d correspondant à 1 ∈ ˙
Y [d V ]. Dans
ce cas, on notera h = h[1] et ¯
f [u] = ¯
f [1, u].
875
On pose Y = Y η . Rappelons que c’est l’ensemble des y ∈ G( ¯
F ) tels que
yσ(y)
−1
∈ I . Pour y ∈ Y , posons η[y] = ad y −1 (η ). L’application y → (η[y], r y)
est une bijection de Y sur D F (la preuve est la même qu’en 5.4(4)). Grâce au
lemme 5.5, l’inverse de cette bijection identifie le sous-ensemble D F [d V ] ⊂ D F au
sous-ensemble des y ∈ Y tels que
– pour tout v ∈ V , y ∈ I ( ¯
F v )G(F v ) ;
– pour tout v ∈ V , y ∈ I ( ¯
F v )K ,v G(F v ).
On note Y [d V ] cet ensemble. L’inverse de la bijection ci-dessus identifie
˙
D F [d V ] à un ensemble de représentants de l’ensemble de doubles classes
I ( ¯
F )\Y [d V ]/G(F ).
On note cet ensemble ˙
Y [d V ].
On a
(1) pour tout y ∈ Y [d V ], il existe y
∈ I ( ¯
F )y tel que y
σ(y
)
−1 appartienne au
centre de I pour tout σ ∈ Γ F .
Preuve. Pour y ∈ Y [d V ], notons χ y le cocycle σ → yσ(y)
−1 de Γ F dans I et
χ y,ad son image naturelle à valeurs dans ¯
G ,AD . L’automorphisme ad y se restreint
en un torseur intérieur de G η[y] sur ¯
G . La classe d’isomorphisme de G η[y] est
déterminé par l’élément χ y,ad ∈ H
1 (Γ F ; ¯
G ,AD ). Or, par définition de Y [d V ], ce
cocycle est localement un cobord en toute place v ∈ Val(F ). Parce que le groupe
¯
G ,AD est adjoint, l’application
H
1 (F ; ¯
G ,AD ) → ⊕ v∈Val(F ) H
1 (F v ; ¯
G ,AD )
est injective ([71] corollaire 5.4). Donc χ y,ad est un cobord. Quitte à multiplier y à
gauche par un élément de ¯
G ( ¯
F ) ⊂ I ( ¯
F ), on peut donc supposer que χ y,ad (σ) = 1
pour tout σ ∈ Γ F . Cela entraîne que χ y (σ) appartient au centre de I .
Remarquons que la propriété de y
entraîne que ad y se restreint en un isomorphisme défini sur F de I η[y] sur I .
Par la bijection de Y [d V ] sur D F [d V ], la multiplication à gauche par I ( ¯
F )
correspond à la multiplication à gauche par I η ( ¯
F ). On voit qu’une telle multiplication ne modifie pas les termes intervenant dans la définition de la fonction
¯
ϕ[V
, d V ]. En conséquence, on peut supposer que tous les éléments de l’ensemble
de représentants ˙
Y [d V ] satisfont la conclusion de (1). On ne perd rien non plus à
supposer que d appartient à l’ensemble ˙
D F [d V ]. Il revient au même de supposer
que 1 appartient à ˙
Y [d V ]. Pour d ∈ ˙
D F [d V ], on a défini en 7.1 des termes h[d],
U[V
, d] et, pour u ∈ U[V
, d], des termes K sc,v [d, u], Δ V [d, u], ¯
f [d, u]. Si d correspond à y ∈ ˙
Y [d V ], on note aussi ces termes h[y], U[V
, y], K sc,v [y, u], Δ V [y, u] et
¯
f [y, u]. On fera une exception pour le terme d correspondant à 1 ∈ ˙
Y [d V ]. Dans
ce cas, on notera h = h[1] et ¯
f [u] = ¯
f [1, u].