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Chapitre VII. Descente globale
T avec l’action σ → ω T (σ)ω ¯
G (σ) ◦ σ G ∗ sur T
∗ . On a défini le tore S comme étant
T
∗ muni de l’action galoisienne σ → ω S (σ) ◦ σ G ∗ et on a ω S (σ) = ω S, ¯
G (σ)ω ¯
G (σ),
où ω S, ¯
G (σ) ∈ W
¯
G . Par l’isomorphisme ad r ¯
r , on identifie W
¯
G au groupe de Weyl
W
¯
G de ¯
G relatif à ¯
T . On définit ω S,T (σ) = ω S, ¯
G (σ)ω T (σ)
−1 . C’est un élément
de W
¯
G et S s’identifie au tore T muni de l’action σ → ω S,T (σ) ◦ σ (ce dernier
σ étant l’action naturelle sur T ). Dans cette section, on identifie ainsi S à T . On
note ¯
S = S ∩ ¯
G , c’est-à-dire ¯
S = ¯
T muni de l’action σ → ω S,T (σ) ◦ σ. On note
¯
S sc l’image réciproque de ¯
S dans ¯
G et S sc l’image réciproque de S dans G SC .
Le tore ¯
S sc s’identifie à notre précédent tore S ¯
H .
En appliquant les constructions de 6.7 à notre élément d = (η , r ), on
fixe pour toute place v ∈ Val(F ) une paire de Borel (B[d ,v ], S[d ,v ]) vérifiant
toutes les propriétés de ce paragraphe. On note simplement S ,v = S[d ,v ]. Pour
une extension galoisienne finie E de F , on note S (A E ) le produit restreint des
S ,v (E w ) sur les places v de F et sur les places w
de E divisant v. La restriction
est relative aux sous-groupes S ,v (o w ) qui se définissent naturellement en presque
tout couple (v, w
) de places. On note S (A ¯
F ) la limite inductive de S (A E ) quand
E parcourt les extensions galoisiennes finies de F . D’après le lemme 6.8, on peut
fixer u ∈ ¯
G (A ¯
F ) tel que ad ru (S (A ¯
F )) = T
∗ (A ¯
F ) et que ad ru entrelace
l’action galoisienne naturelle de Γ F sur S (A ¯
F ) avec l’action σ → ω S (σ) ◦ σ G ∗ sur
T
∗ (A ¯
F ). Il en résulte que ad ¯
r
−1
u se restreint en un isomorphisme équivariant pour
les actions de Γ F de S (A ¯
F ) sur S(A ¯
F ). De même, pour tout v, cet isomorphisme
se restreint en un isomorphisme équivariant pour les actions de Γ Fv de S ,v ( ¯
F v )
sur S(F v ). Des tores S ,v se déduisent comme ci-dessus des tores ¯
S ,v , ¯
S ,v,sc et
S ,v,sc et des isomorphismes analogues relient ces tores à ¯
S, ¯
S sc , S sc .
Ainsi, quand on considère les points sur ¯
F v , resp. A ¯
F , on peut identifier S à
S . La différence essentielle est que S à une structure sur ¯
F , donc le groupe S( ¯
F )
est bien défini tandis que S ( ¯
F ) n’a pas de sens. Toutefois, le groupe Z(I ; A ¯
F )
se plonge naturellement dans S(A ¯
F ) comme dans S (A ¯
F ). Puisque ¯
r et u appartiennent à ¯
G , l’isomorphisme S(A ¯
F ) S (A ¯
F ) se restreint en l’identité de
Z(I ; A ¯
F ). Puisque Z(I ) est défini sur F , on obtient le diagramme commutatif
S( ¯
F )
→ S(A ¯
F )
Z(I ; ¯
F ) → Z(I ; A ¯
F )
↓
S (A ¯
F ) .
Une propriété analogue vaut pour ¯
S sc et ¯
S ,sc , le groupe Z(I ) étant remplacé par
Z( ¯
G ,SC ).
En vertu de ce que l’on a dit en 6.2, les groupes de cohomologie abélienne
de I , à coefficients dans F , F v , A F ou A F /F , peuvent se calculer à l’aide du
complexe ¯
S sc → S
1−θ
→ (1 − θ)(S). Sur F v ou A F , on peut aussi bien utiliser le
complexe ¯
S ,sc → S
1−−θ
→ (1 − θ)(S ).
Chapitre VII. Descente globale
T avec l’action σ → ω T (σ)ω ¯
G (σ) ◦ σ G ∗ sur T
∗ . On a défini le tore S comme étant
T
∗ muni de l’action galoisienne σ → ω S (σ) ◦ σ G ∗ et on a ω S (σ) = ω S, ¯
G (σ)ω ¯
G (σ),
où ω S, ¯
G (σ) ∈ W
¯
G . Par l’isomorphisme ad r ¯
r , on identifie W
¯
G au groupe de Weyl
W
¯
G de ¯
G relatif à ¯
T . On définit ω S,T (σ) = ω S, ¯
G (σ)ω T (σ)
−1 . C’est un élément
de W
¯
G et S s’identifie au tore T muni de l’action σ → ω S,T (σ) ◦ σ (ce dernier
σ étant l’action naturelle sur T ). Dans cette section, on identifie ainsi S à T . On
note ¯
S = S ∩ ¯
G , c’est-à-dire ¯
S = ¯
T muni de l’action σ → ω S,T (σ) ◦ σ. On note
¯
S sc l’image réciproque de ¯
S dans ¯
G et S sc l’image réciproque de S dans G SC .
Le tore ¯
S sc s’identifie à notre précédent tore S ¯
H .
En appliquant les constructions de 6.7 à notre élément d = (η , r ), on
fixe pour toute place v ∈ Val(F ) une paire de Borel (B[d ,v ], S[d ,v ]) vérifiant
toutes les propriétés de ce paragraphe. On note simplement S ,v = S[d ,v ]. Pour
une extension galoisienne finie E de F , on note S (A E ) le produit restreint des
S ,v (E w ) sur les places v de F et sur les places w
de E divisant v. La restriction
est relative aux sous-groupes S ,v (o w ) qui se définissent naturellement en presque
tout couple (v, w
) de places. On note S (A ¯
F ) la limite inductive de S (A E ) quand
E parcourt les extensions galoisiennes finies de F . D’après le lemme 6.8, on peut
fixer u ∈ ¯
G (A ¯
F ) tel que ad ru (S (A ¯
F )) = T
∗ (A ¯
F ) et que ad ru entrelace
l’action galoisienne naturelle de Γ F sur S (A ¯
F ) avec l’action σ → ω S (σ) ◦ σ G ∗ sur
T
∗ (A ¯
F ). Il en résulte que ad ¯
r
−1
u se restreint en un isomorphisme équivariant pour
les actions de Γ F de S (A ¯
F ) sur S(A ¯
F ). De même, pour tout v, cet isomorphisme
se restreint en un isomorphisme équivariant pour les actions de Γ Fv de S ,v ( ¯
F v )
sur S(F v ). Des tores S ,v se déduisent comme ci-dessus des tores ¯
S ,v , ¯
S ,v,sc et
S ,v,sc et des isomorphismes analogues relient ces tores à ¯
S, ¯
S sc , S sc .
Ainsi, quand on considère les points sur ¯
F v , resp. A ¯
F , on peut identifier S à
S . La différence essentielle est que S à une structure sur ¯
F , donc le groupe S( ¯
F )
est bien défini tandis que S ( ¯
F ) n’a pas de sens. Toutefois, le groupe Z(I ; A ¯
F )
se plonge naturellement dans S(A ¯
F ) comme dans S (A ¯
F ). Puisque ¯
r et u appartiennent à ¯
G , l’isomorphisme S(A ¯
F ) S (A ¯
F ) se restreint en l’identité de
Z(I ; A ¯
F ). Puisque Z(I ) est défini sur F , on obtient le diagramme commutatif
S( ¯
F )
→ S(A ¯
F )
Z(I ; ¯
F ) → Z(I ; A ¯
F )
↓
S (A ¯
F ) .
Une propriété analogue vaut pour ¯
S sc et ¯
S ,sc , le groupe Z(I ) étant remplacé par
Z( ¯
G ,SC ).
En vertu de ce que l’on a dit en 6.2, les groupes de cohomologie abélienne
de I , à coefficients dans F , F v , A F ou A F /F , peuvent se calculer à l’aide du
complexe ¯
S sc → S
1−θ
→ (1 − θ)(S). Sur F v ou A F , on peut aussi bien utiliser le
complexe ¯
S ,sc → S
1−−θ
→ (1 − θ)(S ).