VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide
873
VII.7.2 Premier calcul d’une expression intervenant en 5.9
Considérons l’expression
(1)
¯
f [d V ]
j∈J (H)
δ j [d V ]
qui apparaît dans l’expression 5.9(2).
Corollaire. L’expression (1) est nulle si D F [d V ] = ∅. Supposons D F [d V ] non vide.
Alors cette expression (1) est égale à |P
0
|| ˙
D F [d V ]|
−1 ¯
ϕ[V
, d V ] pourvu que V
soit
assez grand.
Preuve. La première assertion résulte de la proposition 6.9. Supposons D F [d V ]
non vide. Si J (H) est vide, l’expression (1) est nulle et ¯
ϕ[V
, d V ] aussi d’après la
proposition 7.1. Supposons J (H) non vide. L’expression (1) ne dépend que de la
double classe I η ( ¯
F V )d V G(F V ). On peut remplacer ce terme d V par la composante
en V d’un élément d ∈ ˙
D F [d V ]. On peut utiliser dans les définitions le facteur
de transfert Δ V [d, u] pour un élément u ∈ U[V
, d]. La fonction ¯
f [d V ] est alors
remplacée par ¯
f [d, u]. La proposition 6.10 calcule les facteurs δ j [d V ] pour nos
choix : ils sont égaux à ω(uh[d]), où u et h[d] sont complétés en des éléments de
G(A F ) de composantes 1 hors de V
− V . L’expression (1) devient
|J (H)|ω(uh[d]) ¯
f [d, u].
On peut moyenner en d et u et on obtient l’expression
|J (H)|| ˙
D F [d V ]|
−1 ¯
ϕ[V
, d V ].
D’après 6.4 et 6.6, on a |J (H)| = |P
0
| puisque J (H) = ∅. D’où la deuxième
assertion du corollaire.
VII.7.3 Mise en place de la situation
La conclusion de la proposition 7.1 est triviale si D F [d V ] est vide. On suppose
jusqu’en 7.15 que D F [d V ] = ∅. On fixe un élément de cet ensemble, que l’on note
d = (η , r ). Pour simplifier les notations, on pose simplement
I = I η , ¯
G = G η .
Ces groupes sont définis sur F et ad r se restreint en un torseur intérieur de ¯
G sur
¯
G. Fixons un sous-tore maximal ¯
T de ¯
G défini sur F . Notons T son commutant
dans G. On peut fixer ¯
r ∈ ¯
G ( ¯
F ) tel que ad ¯
r ( ¯
T ) = ad r
−1
(T
∗ ) ∩ ¯
G . On a
ad r ¯
r ( ¯
T ) = ¯
T (= ¯
G∩T
∗ ) et ad r ¯
r (T ) = T
∗ . Il existe un cocycle ω T : Γ F → W
¯
G
tel que ad r ¯
r entrelace l’action galoisienne naturelle sur ¯
T avec l’action σ →
ω T (σ)◦σ ¯
G sur ¯
T . Puisque σ ¯
G = ω ¯
G (σ)◦σ G ∗ , ad r ¯
r entrelace l’action naturelle sur
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VII.7.2 Premier calcul d’une expression intervenant en 5.9
Considérons l’expression
(1)
¯
f [d V ]
j∈J (H)
δ j [d V ]
qui apparaît dans l’expression 5.9(2).
Corollaire. L’expression (1) est nulle si D F [d V ] = ∅. Supposons D F [d V ] non vide.
Alors cette expression (1) est égale à |P
0
|| ˙
D F [d V ]|
−1 ¯
ϕ[V
, d V ] pourvu que V
soit
assez grand.
Preuve. La première assertion résulte de la proposition 6.9. Supposons D F [d V ]
non vide. Si J (H) est vide, l’expression (1) est nulle et ¯
ϕ[V
, d V ] aussi d’après la
proposition 7.1. Supposons J (H) non vide. L’expression (1) ne dépend que de la
double classe I η ( ¯
F V )d V G(F V ). On peut remplacer ce terme d V par la composante
en V d’un élément d ∈ ˙
D F [d V ]. On peut utiliser dans les définitions le facteur
de transfert Δ V [d, u] pour un élément u ∈ U[V
, d]. La fonction ¯
f [d V ] est alors
remplacée par ¯
f [d, u]. La proposition 6.10 calcule les facteurs δ j [d V ] pour nos
choix : ils sont égaux à ω(uh[d]), où u et h[d] sont complétés en des éléments de
G(A F ) de composantes 1 hors de V
− V . L’expression (1) devient
|J (H)|ω(uh[d]) ¯
f [d, u].
On peut moyenner en d et u et on obtient l’expression
|J (H)|| ˙
D F [d V ]|
−1 ¯
ϕ[V
, d V ].
D’après 6.4 et 6.6, on a |J (H)| = |P
0
| puisque J (H) = ∅. D’où la deuxième
assertion du corollaire.
VII.7.3 Mise en place de la situation
La conclusion de la proposition 7.1 est triviale si D F [d V ] est vide. On suppose
jusqu’en 7.15 que D F [d V ] = ∅. On fixe un élément de cet ensemble, que l’on note
d = (η , r ). Pour simplifier les notations, on pose simplement
I = I η , ¯
G = G η .
Ces groupes sont définis sur F et ad r se restreint en un torseur intérieur de ¯
G sur
¯
G. Fixons un sous-tore maximal ¯
T de ¯
G défini sur F . Notons T son commutant
dans G. On peut fixer ¯
r ∈ ¯
G ( ¯
F ) tel que ad ¯
r ( ¯
T ) = ad r
−1
(T
∗ ) ∩ ¯
G . On a
ad r ¯
r ( ¯
T ) = ¯
T (= ¯
G∩T
∗ ) et ad r ¯
r (T ) = T
∗ . Il existe un cocycle ω T : Γ F → W
¯
G
tel que ad r ¯
r entrelace l’action galoisienne naturelle sur ¯
T avec l’action σ →
ω T (σ)◦σ ¯
G sur ¯
T . Puisque σ ¯
G = ω ¯
G (σ)◦σ G ∗ , ad r ¯
r entrelace l’action naturelle sur