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Chapitre VII. Descente globale
l’élément zd peut appartenir ou non à D F [d V ]. Notons X 1 l’ensemble des zd 0 qui
appartiennent à D F [d V ], pour d 0 ∈ X 0 et z ∈ Z 0 . Soit d ∈ D F [d V ]. On peut
choisir d 0 ∈ X 0 et x ∈ G(F ) tels que η[d] = xη[d 0 ]x
−1 . Alors les deux éléments
r[d 0 ] et r[d]x conjuguent η[d 0 ] en η. Ils diffèrent donc par multiplication à gauche
par un élément de Z G (η; ¯
F ), que l’on peut écrire u
−1 z, avec z ∈ Z 0 et u ∈ I η ( ¯
F ).
On a alors zd 0 = udx. L’élément de droite appartient à D F [d V ] donc aussi celui
de gauche. Ce dernier appartient donc à X 1 . L’égalité précédente montre que cet
élément a même image que d dans notre ensemble de doubles classes. Cet ensemble
est donc contenu dans l’image de X 1 , lequel est fini.
Fixons un ensemble de représentants ˙
D F [d V ] de l’ensemble de doubles classes
I η ( ¯
F )\D F [d V ]/G(F ). Considérons un ensemble fini V
de places de F contenant
V et tel que
(2) pour tout d ∈ ˙
D F [d V ] et tout v ∈ V
, on a η[d] ∈ ˜
K v .
Soit d ∈ ˙
D F [d V ]. On fixe un ensemble de représentants U[V
, d] de l’ensemble
de classes
G η[d] (F
V
V )/Z(G η[d] ; F
V
V )G η[d],SC (F
V
V ).
On suppose que 1 ∈ U[V
, d]. Pour v ∈ V
− V , on fixe h v [d] ∈ G(F v ) tel que
ad hv[d] −1 (η[d]) ∈ ˜
K v . On pose h[d] = (h v [d]) v∈V −V . Pour u = (u v ) v∈V −V ∈
U[V
, d], munissons G η[d],SC (A
V
F ) du sous-groupe compact K
V
sc [d, u] défini ainsi :
pour tout v ∈ V , K sc,v [d, u] est l’image réciproque dans G η[d],SC (F v ) de K v ∩
G η[d] (F v ) si v ∈ V
et de ad uv hv [d] (K v ) ∩ G η[d] (F v ) si v ∈ V
− V . Ce groupe
permet de définir un facteur de transfert canonique sur
¯
H(F V ) × G η[d],SC (F V )
que nous notons Δ V [d, u].
En 5.9, on a défini une fonction ¯
f [d V ] ∈ SI( ¯
H(F V )). Pour d ∈ ˙
D F [d V ], la
«composante en V » de d n’est pas forcément d V , cette composante appartient
seulement à I η ( ¯
F V )d V G(F V ). On peut néanmoins appliquer la définition de 5.9
en remplaçant d V par cette composante en V . Dans cette définition, il intervient
un facteur de transfert. On peut prendre Δ V [d, u] pour un élément u ∈ U[V
, d].
On note alors ¯
f [d, u] la fonction obtenue. Posons
(3)
¯
ϕ[V
, d V ] =
d∈ ˙
DF [dV ]
|U[V
, d]|
−1
u∈U [V ,d]
ω(uh[d]) ¯
f [d, u].
Cette expression dépend de plusieurs données auxiliaires, en particulier de l’ensemble de places V
puisque les ensembles U[V
, d] en dépendent. Les paragraphes
7.3 à 7.9 sont consacrés à prouver la proposition suivante.
Proposition. Supposons J (H)= ∅. Alors, si V
est assez grand, on a ¯
ϕ[V
,d V ]= 0.
Chapitre VII. Descente globale
l’élément zd peut appartenir ou non à D F [d V ]. Notons X 1 l’ensemble des zd 0 qui
appartiennent à D F [d V ], pour d 0 ∈ X 0 et z ∈ Z 0 . Soit d ∈ D F [d V ]. On peut
choisir d 0 ∈ X 0 et x ∈ G(F ) tels que η[d] = xη[d 0 ]x
−1 . Alors les deux éléments
r[d 0 ] et r[d]x conjuguent η[d 0 ] en η. Ils diffèrent donc par multiplication à gauche
par un élément de Z G (η; ¯
F ), que l’on peut écrire u
−1 z, avec z ∈ Z 0 et u ∈ I η ( ¯
F ).
On a alors zd 0 = udx. L’élément de droite appartient à D F [d V ] donc aussi celui
de gauche. Ce dernier appartient donc à X 1 . L’égalité précédente montre que cet
élément a même image que d dans notre ensemble de doubles classes. Cet ensemble
est donc contenu dans l’image de X 1 , lequel est fini.
Fixons un ensemble de représentants ˙
D F [d V ] de l’ensemble de doubles classes
I η ( ¯
F )\D F [d V ]/G(F ). Considérons un ensemble fini V
de places de F contenant
V et tel que
(2) pour tout d ∈ ˙
D F [d V ] et tout v ∈ V
, on a η[d] ∈ ˜
K v .
Soit d ∈ ˙
D F [d V ]. On fixe un ensemble de représentants U[V
, d] de l’ensemble
de classes
G η[d] (F
V
V )/Z(G η[d] ; F
V
V )G η[d],SC (F
V
V ).
On suppose que 1 ∈ U[V
, d]. Pour v ∈ V
− V , on fixe h v [d] ∈ G(F v ) tel que
ad hv[d] −1 (η[d]) ∈ ˜
K v . On pose h[d] = (h v [d]) v∈V −V . Pour u = (u v ) v∈V −V ∈
U[V
, d], munissons G η[d],SC (A
V
F ) du sous-groupe compact K
V
sc [d, u] défini ainsi :
pour tout v ∈ V , K sc,v [d, u] est l’image réciproque dans G η[d],SC (F v ) de K v ∩
G η[d] (F v ) si v ∈ V
et de ad uv hv [d] (K v ) ∩ G η[d] (F v ) si v ∈ V
− V . Ce groupe
permet de définir un facteur de transfert canonique sur
¯
H(F V ) × G η[d],SC (F V )
que nous notons Δ V [d, u].
En 5.9, on a défini une fonction ¯
f [d V ] ∈ SI( ¯
H(F V )). Pour d ∈ ˙
D F [d V ], la
«composante en V » de d n’est pas forcément d V , cette composante appartient
seulement à I η ( ¯
F V )d V G(F V ). On peut néanmoins appliquer la définition de 5.9
en remplaçant d V par cette composante en V . Dans cette définition, il intervient
un facteur de transfert. On peut prendre Δ V [d, u] pour un élément u ∈ U[V
, d].
On note alors ¯
f [d, u] la fonction obtenue. Posons
(3)
¯
ϕ[V
, d V ] =
d∈ ˙
DF [dV ]
|U[V
, d]|
−1
u∈U [V ,d]
ω(uh[d]) ¯
f [d, u].
Cette expression dépend de plusieurs données auxiliaires, en particulier de l’ensemble de places V
puisque les ensembles U[V
, d] en dépendent. Les paragraphes
7.3 à 7.9 sont consacrés à prouver la proposition suivante.
Proposition. Supposons J (H)= ∅. Alors, si V
est assez grand, on a ¯
ϕ[V
,d V ]= 0.