VII.7. Le cas où DF [dV ] est non vide
871
Pour calculer V ¯
S , on utilise les objets définis en 6.8. Posons
S[d] =
v∈Val(F )
S[d v ] et ¯
S[d] =
v∈Val(F )
(S[d v ] ∩ G η[d] ).
Notons aussi ¯
S
∗ [d] le tore ¯
T [d] muni de l’action σ → σ S transportée par ad r[d] −1 .
Notons ¯
S[d] sc et ¯
S
∗ [d] sc les images réciproques de ¯
S[d] et ¯
S
∗ [d] dans G η[d],SC .
Puisque ad g se restreint en un isomorphisme défini sur F de S[d] sur S, ad u se
restreint en un isomorphisme défini sur F de ¯
S[d] sur ¯
S
∗ [d]. La définition de [VI]
3.6 fournit un cocycle V
¯
S
à valeurs dans ¯
S
∗ [d] sc (A E )/ ¯
S
∗ [d] sc (E) défini par
V
¯
S (σ) = ¯
x[d]σ G η[d] ∗ (¯ x[d])
−1 ¯
u[d](σ)σ(u)u
−1 .
Le cocycle V ¯
S est l’image de V
¯
S
par l’isomorphisme ad r[d] : ¯
S
∗ [d] sc → ¯
S sc = S ¯
H .
On voit sur les formules ci-dessus que V
S (σ) est le produit de l’image naturelle de
V ¯
S (σ) et de termes appartenant à S sc (E). Il en résulte que (V S , t) est l’image de
V ¯
S par l’homomorphisme
q 1 : H
1 (A ¯
F / ¯
F ; S ¯
H ) → Q = H
1,0 (A ¯
F / ¯
F ; S sc
1−θ
→ (1 − θ)(S)).
Puisque l’application
p 1 : P = H
1,0 (W F ; ˆ
S/ ˆ
S
ˆ
θ,0 1− ˆ
θ
→ ˆ
S ad ) → ˆ
S
ΓF
¯
H
est duale de q 1 , cela entraîne que
(V S , t), p(j) = V ¯
S , p 1 ◦ p(j) .
Mais p 1 ◦p(j) = ¯
s d’après la proposition 6.4. Cela prouve (5) et la proposition.
VII.7 Le cas où D F [d V ] est non vide
VII.7.1 Une proposition de nullité
Dans cette section, on fixe un élément d V ∈ D
rel
V . On a
(1) l’ensemble de classes I η ( ¯
F )\D F [d V ]/G(F ) est fini.
Preuve. Quand d parcourt D F [d V ], les η[d] sont des éléments de ˜
G(F ) qui appartiennent à la même classe de conjugaison stable. Pour v ∈ V , leurs classes de
conjugaison par G(F v ) coupent ˜
K v . D’après le lemme [VI] 2.1, ils sont contenus
dans un nombre fini de classes de conjugaison par G(F ). Fixons un sous-ensemble
fini X 0 ⊂ D F [d V ] tel que, pour tout d ∈ D F [d V ], il existe d 0 ∈ X 0 tel que η[d]
et η[d 0 ] soient conjugués par un élément de G(F ). L’ensemble I η ( ¯
F )\Z G (η; ¯
F ) est
fini. Fixons-en un ensemble de représentants Z 0 . Pour d ∈ D F [d V ] et z ∈ Z 0 ,
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Pour calculer V ¯
S , on utilise les objets définis en 6.8. Posons
S[d] =
v∈Val(F )
S[d v ] et ¯
S[d] =
v∈Val(F )
(S[d v ] ∩ G η[d] ).
Notons aussi ¯
S
∗ [d] le tore ¯
T [d] muni de l’action σ → σ S transportée par ad r[d] −1 .
Notons ¯
S[d] sc et ¯
S
∗ [d] sc les images réciproques de ¯
S[d] et ¯
S
∗ [d] dans G η[d],SC .
Puisque ad g se restreint en un isomorphisme défini sur F de S[d] sur S, ad u se
restreint en un isomorphisme défini sur F de ¯
S[d] sur ¯
S
∗ [d]. La définition de [VI]
3.6 fournit un cocycle V
¯
S
à valeurs dans ¯
S
∗ [d] sc (A E )/ ¯
S
∗ [d] sc (E) défini par
V
¯
S (σ) = ¯
x[d]σ G η[d] ∗ (¯ x[d])
−1 ¯
u[d](σ)σ(u)u
−1 .
Le cocycle V ¯
S est l’image de V
¯
S
par l’isomorphisme ad r[d] : ¯
S
∗ [d] sc → ¯
S sc = S ¯
H .
On voit sur les formules ci-dessus que V
S (σ) est le produit de l’image naturelle de
V ¯
S (σ) et de termes appartenant à S sc (E). Il en résulte que (V S , t) est l’image de
V ¯
S par l’homomorphisme
q 1 : H
1 (A ¯
F / ¯
F ; S ¯
H ) → Q = H
1,0 (A ¯
F / ¯
F ; S sc
1−θ
→ (1 − θ)(S)).
Puisque l’application
p 1 : P = H
1,0 (W F ; ˆ
S/ ˆ
S
ˆ
θ,0 1− ˆ
θ
→ ˆ
S ad ) → ˆ
S
ΓF
¯
H
est duale de q 1 , cela entraîne que
(V S , t), p(j) = V ¯
S , p 1 ◦ p(j) .
Mais p 1 ◦p(j) = ¯
s d’après la proposition 6.4. Cela prouve (5) et la proposition.
VII.7 Le cas où D F [d V ] est non vide
VII.7.1 Une proposition de nullité
Dans cette section, on fixe un élément d V ∈ D
rel
V . On a
(1) l’ensemble de classes I η ( ¯
F )\D F [d V ]/G(F ) est fini.
Preuve. Quand d parcourt D F [d V ], les η[d] sont des éléments de ˜
G(F ) qui appartiennent à la même classe de conjugaison stable. Pour v ∈ V , leurs classes de
conjugaison par G(F v ) coupent ˜
K v . D’après le lemme [VI] 2.1, ils sont contenus
dans un nombre fini de classes de conjugaison par G(F ). Fixons un sous-ensemble
fini X 0 ⊂ D F [d V ] tel que, pour tout d ∈ D F [d V ], il existe d 0 ∈ X 0 tel que η[d]
et η[d 0 ] soient conjugués par un élément de G(F ). L’ensemble I η ( ¯
F )\Z G (η; ¯
F ) est
fini. Fixons-en un ensemble de représentants Z 0 . Pour d ∈ D F [d V ] et z ∈ Z 0 ,