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Chapitre VII. Descente globale
On peut fixer un ensenble fini V
de places contenant V de sorte que, pour
v ∈ V
,
– Δ II,v (y j j , x[d v ]η)Δ II [d v , h](¯ y v , x sc [d v ])
−1 = 1 ;
– v = 1.
Pour v ∈ V
− V , on remplace les données x[d v ] etc. . . par des éléments assez
proches des éléments neutres pour que le rapport des facteurs Δ II,v vaille v . Alors
la limite de l’assertion (4) est
v∈Val(F ) v . Mais ce produit vaut
Σ(S) res,ind /ΓF
w∈Val(Fα res )
χ αres,w (c αres ).
Cela vaut 1 par la formule du produit. D’où (4).
Il reste à calculer la limite du rapport des facteurs globaux
Δ j,imp (y j,1 j,1 , x[d]η)Δ imp [d](¯ y, x sc [d])
−1 .
On a montré dans la preuve de la proposition 6.9 que le premier terme avait
une limite, égale à (V S , t), p(j)
−1 avec les notations de ce paragraphe. La même
preuve montre que le second terme a aussi une limite, égale à V ¯
S , ¯
s
−1 , où V ¯
S :
Γ F → S ¯
H (A ¯
F )/S ¯
H ( ¯
F ) est un cocycle analogue à V S . Il reste à prouver l’égalité
(5)
(V S , t), j = V ¯
S , ¯
s .
Reprenons la construction de (V S , t) du paragraphe précédent. Ici, l’élément d
appartient à D F et on peut appliquer le lemme 6.8. On peut donc écrire g =
t 1 r[d] sc u, avec t 1 ∈ T
∗
sc (A E ) et u ∈ G η[d],SC (A E ). Cela entraîne g = z[d]
−1 t 1 r[d]u.
L’élément t ∈ ((1 − θ
∗ )(T
∗ ))(A E ) a été défini par ad g (η[d]) = tη. La relation
précédente entraîne t = (1 − θ
∗ )(t 1 z[d]
−1 ). Pour σ ∈ Γ F , on a
V S (σ) = xσ G ∗ (x)
−1 u E ∗ (σ)σ(g)g
−1
= σ S (t 1 )xσ G ∗ (x)
−1 u E ∗ (σ)σ(r[d] sc )r[d]
−1
sc ad r[d]sc (σ(u)u
−1 )t
−1
1
= σ S (t 1 )t
−1
1 V
S (σ),
où
V
S (σ) = xσ G ∗ (x)
−1 u E ∗ (σ)σ(r[d] sc )r[d]
−1
sc ad r[d] (σ(u)u
−1 ).
Le couple formé du cocycle σ → σ S (t 1 )t
−1
1 et de l’élément (1−θ
∗ )(t 1 ) est un cobord.
On peut le supprimer. Le terme (1 − θ
∗ )(z[d])
−1 appartient à (1 − θ
∗ )(S)(E) et
disparaît dans notre groupe de cohomologie Q. On obtient que (V S , t) (ou plus
exactement son image dans Q) est l’image par l’homomorphisme naturel
H
1,0 (A ¯
F / ¯
F ; S sc ) → Q = H
1,0 (A ¯
F / ¯
F ; S sc
1−θ
→ (1 − θ)(S))
du cocycle V
S .
Chapitre VII. Descente globale
On peut fixer un ensenble fini V
de places contenant V de sorte que, pour
v ∈ V
,
– Δ II,v (y j j , x[d v ]η)Δ II [d v , h](¯ y v , x sc [d v ])
−1 = 1 ;
– v = 1.
Pour v ∈ V
− V , on remplace les données x[d v ] etc. . . par des éléments assez
proches des éléments neutres pour que le rapport des facteurs Δ II,v vaille v . Alors
la limite de l’assertion (4) est
v∈Val(F ) v . Mais ce produit vaut
Σ(S) res,ind /ΓF
w∈Val(Fα res )
χ αres,w (c αres ).
Cela vaut 1 par la formule du produit. D’où (4).
Il reste à calculer la limite du rapport des facteurs globaux
Δ j,imp (y j,1 j,1 , x[d]η)Δ imp [d](¯ y, x sc [d])
−1 .
On a montré dans la preuve de la proposition 6.9 que le premier terme avait
une limite, égale à (V S , t), p(j)
−1 avec les notations de ce paragraphe. La même
preuve montre que le second terme a aussi une limite, égale à V ¯
S , ¯
s
−1 , où V ¯
S :
Γ F → S ¯
H (A ¯
F )/S ¯
H ( ¯
F ) est un cocycle analogue à V S . Il reste à prouver l’égalité
(5)
(V S , t), j = V ¯
S , ¯
s .
Reprenons la construction de (V S , t) du paragraphe précédent. Ici, l’élément d
appartient à D F et on peut appliquer le lemme 6.8. On peut donc écrire g =
t 1 r[d] sc u, avec t 1 ∈ T
∗
sc (A E ) et u ∈ G η[d],SC (A E ). Cela entraîne g = z[d]
−1 t 1 r[d]u.
L’élément t ∈ ((1 − θ
∗ )(T
∗ ))(A E ) a été défini par ad g (η[d]) = tη. La relation
précédente entraîne t = (1 − θ
∗ )(t 1 z[d]
−1 ). Pour σ ∈ Γ F , on a
V S (σ) = xσ G ∗ (x)
−1 u E ∗ (σ)σ(g)g
−1
= σ S (t 1 )xσ G ∗ (x)
−1 u E ∗ (σ)σ(r[d] sc )r[d]
−1
sc ad r[d]sc (σ(u)u
−1 )t
−1
1
= σ S (t 1 )t
−1
1 V
S (σ),
où
V
S (σ) = xσ G ∗ (x)
−1 u E ∗ (σ)σ(r[d] sc )r[d]
−1
sc ad r[d] (σ(u)u
−1 ).
Le couple formé du cocycle σ → σ S (t 1 )t
−1
1 et de l’élément (1−θ
∗ )(t 1 ) est un cobord.
On peut le supprimer. Le terme (1 − θ
∗ )(z[d])
−1 appartient à (1 − θ
∗ )(S)(E) et
disparaît dans notre groupe de cohomologie Q. On obtient que (V S , t) (ou plus
exactement son image dans Q) est l’image par l’homomorphisme naturel
H
1,0 (A ¯
F / ¯
F ; S sc ) → Q = H
1,0 (A ¯
F / ¯
F ; S sc
1−θ
→ (1 − θ)(S))
du cocycle V
S .