VII.6. Calculs de facteurs de transfert
869
fixe un tel élément et on note ¯
y v ∈ S ¯
H (F v ) l’élément qui lui correspond par l’isomorphisme entre ¯
S[d v ] sc et S ¯
H déterminé par les paires de Borel (B ¯
H , S ¯
H ) de ¯
H et
( ¯
B[d v ] sc , ¯
S[d v ] sc ) de G η[d],SC , où ¯
B[d v ] sc est l’image réciproque dans ce groupe de
B[d v ] ∩ G η[d] . Le terme δ j [d V , h] est la limite quand le terme Y j,1,V tend vers 0 de
Δ j,1,V (y j,1 j,1 , x[d V ]η)Δ[d V , h](¯ y V , x sc [d V ])
−1 .
Comme dans le paragraphe précédent, on note simplement lim cette notion de
limite. Ce rapport est le produit des rapports des facteurs globaux et du produit
sur les places v ∈ V des rapports de facteurs normalisés
Δ j,1,v (y j,1 j,1 , x[d V ]η)
−1 Δ[d v , h](¯ y V , x sc [d V ]).
Montrons que
(3) quitte à remplacer en un nombre fini de places hors de V les termes x[d v ],
x sc [d v ] et y j,1,v par des éléments assez proches des éléments neutres, le terme
ci-dessus vaut ω(h v ) pour tout v ∈ V .
On peut fixer un ensemble fini V
de places contenant V de sorte que le
rapport vaille 1 et ω(h v ) = 1 pour tout v ∈ V
. Pour v ∈ V
− V , on remplace nos
termes par des termes assez proches de 1. Les assertions (i) et (iii) du théorème
5.8 disent qu’alors le rapport vaut ω(h v ). D’où (3).
On est ramené à calculer le rapport des facteurs globaux. Il se décompose
encore en produit du rapport des facteurs Δ II et de celui des facteurs Δ imp .
Montrons que
(4) quitte à remplacer en un nombre fini de places hors de V les termes x[d v ],
x sc [d v ] et y j,1,v par des éléments assez proches des éléments neutres, on a
lim
v∈Val(F )
Δ II,v (y j j , x[d v ]η)Δ II [d v , h](¯ y v , x sc [d v ])
−1 = 1.
Pour toute place v, les relations (1) et (2) de [79] 10.3 nous disent que le rapport intervenant ci-dessus a une limite quand les données x[d v ] etc. . . tendent vers
les éléments neutres et elles calculent cette limite. Notons-la v . En se reportant aux
définitions de [79] 9.3 et 10.3, on voit que, pour toute élément α res ∈ Σ(S) res,ind ,
il existe un élément c αres ∈ F
×
αres de sorte que
– pour σ ∈ Γ F , c σ(αres) = σ(c αres ) ;
– pour tout v, v =
αres∈Σ(S) res,ind /ΓF v
χ αres,w (c αres ), où w est ici la restriction
de ¯
v à F αres et Σ(S) res,ind /Γ Fv est le quotient de Σ(S) res,ind par l’action
de Γ Fv .
Les propriétés des χ-data (qui sont bien sûr définies sur F ) et des c αres permettent de récrire
v =
αres∈Σ(S) res,ind /ΓF
w|v
χ αres,w (c αres ),
où le produit en w est sur les places de F αres au-dessus de v.
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fixe un tel élément et on note ¯
y v ∈ S ¯
H (F v ) l’élément qui lui correspond par l’isomorphisme entre ¯
S[d v ] sc et S ¯
H déterminé par les paires de Borel (B ¯
H , S ¯
H ) de ¯
H et
( ¯
B[d v ] sc , ¯
S[d v ] sc ) de G η[d],SC , où ¯
B[d v ] sc est l’image réciproque dans ce groupe de
B[d v ] ∩ G η[d] . Le terme δ j [d V , h] est la limite quand le terme Y j,1,V tend vers 0 de
Δ j,1,V (y j,1 j,1 , x[d V ]η)Δ[d V , h](¯ y V , x sc [d V ])
−1 .
Comme dans le paragraphe précédent, on note simplement lim cette notion de
limite. Ce rapport est le produit des rapports des facteurs globaux et du produit
sur les places v ∈ V des rapports de facteurs normalisés
Δ j,1,v (y j,1 j,1 , x[d V ]η)
−1 Δ[d v , h](¯ y V , x sc [d V ]).
Montrons que
(3) quitte à remplacer en un nombre fini de places hors de V les termes x[d v ],
x sc [d v ] et y j,1,v par des éléments assez proches des éléments neutres, le terme
ci-dessus vaut ω(h v ) pour tout v ∈ V .
On peut fixer un ensemble fini V
de places contenant V de sorte que le
rapport vaille 1 et ω(h v ) = 1 pour tout v ∈ V
. Pour v ∈ V
− V , on remplace nos
termes par des termes assez proches de 1. Les assertions (i) et (iii) du théorème
5.8 disent qu’alors le rapport vaut ω(h v ). D’où (3).
On est ramené à calculer le rapport des facteurs globaux. Il se décompose
encore en produit du rapport des facteurs Δ II et de celui des facteurs Δ imp .
Montrons que
(4) quitte à remplacer en un nombre fini de places hors de V les termes x[d v ],
x sc [d v ] et y j,1,v par des éléments assez proches des éléments neutres, on a
lim
v∈Val(F )
Δ II,v (y j j , x[d v ]η)Δ II [d v , h](¯ y v , x sc [d v ])
−1 = 1.
Pour toute place v, les relations (1) et (2) de [79] 10.3 nous disent que le rapport intervenant ci-dessus a une limite quand les données x[d v ] etc. . . tendent vers
les éléments neutres et elles calculent cette limite. Notons-la v . En se reportant aux
définitions de [79] 9.3 et 10.3, on voit que, pour toute élément α res ∈ Σ(S) res,ind ,
il existe un élément c αres ∈ F
×
αres de sorte que
– pour σ ∈ Γ F , c σ(αres) = σ(c αres ) ;
– pour tout v, v =
αres∈Σ(S) res,ind /ΓF v
χ αres,w (c αres ), où w est ici la restriction
de ¯
v à F αres et Σ(S) res,ind /Γ Fv est le quotient de Σ(S) res,ind par l’action
de Γ Fv .
Les propriétés des χ-data (qui sont bien sûr définies sur F ) et des c αres permettent de récrire
v =
αres∈Σ(S) res,ind /ΓF
w|v
χ αres,w (c αres ),
où le produit en w est sur les places de F αres au-dessus de v.