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Chapitre VII. Descente globale
g w = t w r[d v ]u w . Les égalités ad gw (η[d v ]) = tη = (θ
∗
− 1)(z
)η et ad r[dv] (η[d v ]) = η
impliquent que t w ∈ (z
)
−1 T
θ
∗ ⊂ (z
)
−1 I η . Il résulte des définitions que
˙
g = ¯
a
−1
w z
g w h
−1
v = ¯
a
−1
w z
t w r[d v ]u w h
−1
v = u w r[d v ]h
−1
v ,
où u w = ¯
a
−1
w z
t w ad r[dv] (u w ). L’élément u w est un produit d’éléments de I η ( ¯
F ¯
v ).
L’élément h v appartient à G(F v ). Donc ˙
g ∈ I η ( ¯
F ¯
v )r[d v ]G(F v ). Les propriétés de
d v se propagent donc à ˙
d, c’est-à-dire que la projection de ˙
d dans D A V
F
appartient
à D
nr
A V
F
et sa projection dans D V appartient à I η d V G(F V ). Cela prouve (14).
Evidemment, (14) démontre (8), ce qui achève la preuve de la proposition.
Remarque. On peut prouver la réciproque, à savoir que, si D F [d V ] = ∅, alors
(V S , t) appartient à Q 0 . Dans ce cas, l’application j → δ j [d V ] est constante sur
J (H). Nous n’utiliserons pas ce résultat, en le remplaçant par la proposition du
paragraphe suivant.
VII.6.10 Comparaison de deux facteurs de transfert
Soit d ∈ D F . On suppose
(1) la projection de d dans D A V
F
appartient à D
nr
A V
F
.
Notons d V la projection de d dans D V . On suppose
(2) d V ∈ D
rel
V .
L’élément η[d] appartient à ˜
G(F ), donc le groupe G η[d] est défini sur F . Le
torseur ψ r[d] est défini sur ¯
F . La construction de [VI] 3.6 s’applique à la donnée
endoscopique ¯
H de G η[d],SC et fournit un facteur Δ[d V ] canonique, pourvu que
l’on ait choisi en toute place v ∈ V un sous-groupe compact hyperspécial de
G η[d],SC (F v ). Pour cela, comme en 5.7, on fixe en toute place v ∈ V un élément
h v ∈ G(F v ) tel que ad h
−1
v
(η[d]) ∈ ˜
K v . C’est loisible d’après (1). On peut supposer
que h v = 1 pour presque tout v. On choisit le sous-groupe image réciproque
dans G η[d],SC (F v ) de ad hv (K v ) ∩ G η[d] (F v ). On pose h = (h v ) v ∈V et on note
plus précisément Δ[d V , h] le facteur de transfert canonique attaché à ce choix de
compacts. Utilisons ce facteur dans la définition des constantes de 5.7. On note
δ j [d V , h] le produit de ces constantes sur les places v ∈ V .
Proposition. Pour tout j ∈ J (H), on a l’égalité δ j [d V , h] = ω(h).
Preuve. On reprend les constructions de la preuve précédente, en utilisant les notations des paragraphes 6.7 et 6.8. Pour toute place v, on note ¯
S[d v ] sc l’image
réciproque de S[d v ]
θ,0 dans G η[d],SC . Pour v ∈ V , on pose ¯
y v = exp( ¯
Y sc,v ) et
x sc [d v ] = exp(X sc [d v ]) (cf. 5.7 pour ces notations ; d v est l’image de d dans D v ).
Pour v ∈ V , on a fixé dans la preuve précédente un élément x[d v ] ∈ S[d v ]
θ,0 (F v )
vérifiant diverses conditions. On vérifie facilement qu’on peut lui imposer de plus
que son image dans G η[d],AD est l’image d’un élément x sc [d v ] ∈ ¯
S[d v ] sc (F v ). On
Chapitre VII. Descente globale
g w = t w r[d v ]u w . Les égalités ad gw (η[d v ]) = tη = (θ
∗
− 1)(z
)η et ad r[dv] (η[d v ]) = η
impliquent que t w ∈ (z
)
−1 T
θ
∗ ⊂ (z
)
−1 I η . Il résulte des définitions que
˙
g = ¯
a
−1
w z
g w h
−1
v = ¯
a
−1
w z
t w r[d v ]u w h
−1
v = u w r[d v ]h
−1
v ,
où u w = ¯
a
−1
w z
t w ad r[dv] (u w ). L’élément u w est un produit d’éléments de I η ( ¯
F ¯
v ).
L’élément h v appartient à G(F v ). Donc ˙
g ∈ I η ( ¯
F ¯
v )r[d v ]G(F v ). Les propriétés de
d v se propagent donc à ˙
d, c’est-à-dire que la projection de ˙
d dans D A V
F
appartient
à D
nr
A V
F
et sa projection dans D V appartient à I η d V G(F V ). Cela prouve (14).
Evidemment, (14) démontre (8), ce qui achève la preuve de la proposition.
Remarque. On peut prouver la réciproque, à savoir que, si D F [d V ] = ∅, alors
(V S , t) appartient à Q 0 . Dans ce cas, l’application j → δ j [d V ] est constante sur
J (H). Nous n’utiliserons pas ce résultat, en le remplaçant par la proposition du
paragraphe suivant.
VII.6.10 Comparaison de deux facteurs de transfert
Soit d ∈ D F . On suppose
(1) la projection de d dans D A V
F
appartient à D
nr
A V
F
.
Notons d V la projection de d dans D V . On suppose
(2) d V ∈ D
rel
V .
L’élément η[d] appartient à ˜
G(F ), donc le groupe G η[d] est défini sur F . Le
torseur ψ r[d] est défini sur ¯
F . La construction de [VI] 3.6 s’applique à la donnée
endoscopique ¯
H de G η[d],SC et fournit un facteur Δ[d V ] canonique, pourvu que
l’on ait choisi en toute place v ∈ V un sous-groupe compact hyperspécial de
G η[d],SC (F v ). Pour cela, comme en 5.7, on fixe en toute place v ∈ V un élément
h v ∈ G(F v ) tel que ad h
−1
v
(η[d]) ∈ ˜
K v . C’est loisible d’après (1). On peut supposer
que h v = 1 pour presque tout v. On choisit le sous-groupe image réciproque
dans G η[d],SC (F v ) de ad hv (K v ) ∩ G η[d] (F v ). On pose h = (h v ) v ∈V et on note
plus précisément Δ[d V , h] le facteur de transfert canonique attaché à ce choix de
compacts. Utilisons ce facteur dans la définition des constantes de 5.7. On note
δ j [d V , h] le produit de ces constantes sur les places v ∈ V .
Proposition. Pour tout j ∈ J (H), on a l’égalité δ j [d V , h] = ω(h).
Preuve. On reprend les constructions de la preuve précédente, en utilisant les notations des paragraphes 6.7 et 6.8. Pour toute place v, on note ¯
S[d v ] sc l’image
réciproque de S[d v ]
θ,0 dans G η[d],SC . Pour v ∈ V , on pose ¯
y v = exp( ¯
Y sc,v ) et
x sc [d v ] = exp(X sc [d v ]) (cf. 5.7 pour ces notations ; d v est l’image de d dans D v ).
Pour v ∈ V , on a fixé dans la preuve précédente un élément x[d v ] ∈ S[d v ]
θ,0 (F v )
vérifiant diverses conditions. On vérifie facilement qu’on peut lui imposer de plus
que son image dans G η[d],AD est l’image d’un élément x sc [d v ] ∈ ¯
S[d v ] sc (F v ). On