VII.6. Calculs de facteurs de transfert
867
pour tout σ ∈ Γ F . En utilisant la définition de ¯
X(σ) et la relation (12), cela
équivaut à
¯
a
−1 β(σ)
−1 ¯
xσ ¯
G (¯ x)
−1 ad σ ¯
G (¯ x)¯ x −1 β(σ)gσ(g) −1 (σ(¯ a)) ∈ ¯
G SC ( ¯
F ),
ou encore
¯
a
−1 gσ(¯ a
−1 g)
−1 σ(g)g
−1 β(σ)
−1 ¯
xσ ¯
G (¯ x)
−1
∈ ¯
G SC ( ¯
F ).
Puisque ¯
x ∈ ¯
G SC ( ¯
F ) et que β(σ)gσ(g)
−1 = X(σ)u E ∗ (σ), cela équivaut aussi à
(13)
¯
a
−1 gσ(¯ a
−1 g)
−1
∈ ¯
G SC ( ¯
F )X(σ)u E ∗ (σ).
A fortiori ¯
a
−1 gσ(¯ a
−1 g)
−1
∈ G SC ( ¯
F ). L’application σ → ¯
a
−1 gσ(g
−1 ¯
a) est un cocycle à valeurs dans G SC ( ¯
F ) qui devient évidemment un cobord quand on le
pousse dans G SC (A ¯
F ). D’après le théorème [51] 1.6.9, c’est un cobord. On peut
donc fixer ˙
g sc ∈ G SC ( ¯
F ) et h ∈ G SC (A F ) tel que g = ¯
a ˙
g sc h. Posons ˙
g = z
˙
g sc et
˙
d = ( ˙
g
−1 η ˙
g, ˙
g). Montrons que
(14)
˙
d ∈ D F [d V ].
Puisque ˙
g = z
¯
a
−1 gh
−1 et que ¯
a ∈ ¯
G, on a
˙
g
−1 η ˙
g = ad hg −1 ((θ − 1)(z
)η) = ad hg −1 (tη) = ad h (η[d]).
Donc ˙
g
−1 η ˙
g ∈ ˜
G(A F ). Puisque c’est aussi un élément de ˜
G( ¯
F ), c’est un élément
de ˜
G(F ). Notons ˙
ψ la restriction de ad ˙
g à G ˙
g −1 η ˙
g , qui est un isomorphisme de ce
groupe sur ¯
G. Pour σ ∈ Γ F , calculons
σ( ˙
ψ) ◦ ˙
ψ
−1 = σ ¯
G ◦ ˙
ψ ◦ σ
−1
◦ ˙
ψ
−1 .
En utilisant (12), c’est la restriction à G ˙
g −1 η ˙
g de
ad σ ¯
G (¯ x)¯ x −1 ◦ ad X(σ)u E ∗ (σ) ◦σ ◦ ad ˙
g ◦σ
−1
◦ ad ˙
g −1
= ad σ ¯
G (¯ x)¯ x −1 ◦ ad X(σ)u E ∗ (σ) ◦ ad σ( ˙
g) ˙
g −1 .
D’après les définitions, on a
ad σ( ˙
g) ˙
g −1 = ad σ( ˙
gsc) ˙
g
−1
sc
= ad σ(¯ a −1 g)g −1 ¯
a .
Posons ¯
u(σ) = X(σ)u E ∗ (σ)σ(¯ a
−1 g)g
−1 ¯
a. On obtient que σ( ˙
ψ) ◦ ˙
ψ
−1 est la restriction à ¯
G de ad σ ¯
G (¯ x)¯ x −1 ¯
u(σ) . Mais ¯
x ∈ ¯
G SC ( ¯
F ) et (13) montre que l’on a aussi
¯
u(σ) ∈ ¯
G SC ( ¯
F ). Donc ˙
ψ est un torseur intérieur de G ˙
g −1 η ˙
g sur ¯
G. Cela prouve
que ˙
d ∈ D F . On peut étendre le corps E de sorte que tous les éléments intervenant appartiennent à G(A E ). Soit v une place de F , notons w la restriction de
¯
v à E. On se rappelle que g w ∈ T
∗ ( ¯
F ¯
v )r[d v ]G η[dv ] ( ¯
F ¯
v ). Ecrivons conformément
867
pour tout σ ∈ Γ F . En utilisant la définition de ¯
X(σ) et la relation (12), cela
équivaut à
¯
a
−1 β(σ)
−1 ¯
xσ ¯
G (¯ x)
−1 ad σ ¯
G (¯ x)¯ x −1 β(σ)gσ(g) −1 (σ(¯ a)) ∈ ¯
G SC ( ¯
F ),
ou encore
¯
a
−1 gσ(¯ a
−1 g)
−1 σ(g)g
−1 β(σ)
−1 ¯
xσ ¯
G (¯ x)
−1
∈ ¯
G SC ( ¯
F ).
Puisque ¯
x ∈ ¯
G SC ( ¯
F ) et que β(σ)gσ(g)
−1 = X(σ)u E ∗ (σ), cela équivaut aussi à
(13)
¯
a
−1 gσ(¯ a
−1 g)
−1
∈ ¯
G SC ( ¯
F )X(σ)u E ∗ (σ).
A fortiori ¯
a
−1 gσ(¯ a
−1 g)
−1
∈ G SC ( ¯
F ). L’application σ → ¯
a
−1 gσ(g
−1 ¯
a) est un cocycle à valeurs dans G SC ( ¯
F ) qui devient évidemment un cobord quand on le
pousse dans G SC (A ¯
F ). D’après le théorème [51] 1.6.9, c’est un cobord. On peut
donc fixer ˙
g sc ∈ G SC ( ¯
F ) et h ∈ G SC (A F ) tel que g = ¯
a ˙
g sc h. Posons ˙
g = z
˙
g sc et
˙
d = ( ˙
g
−1 η ˙
g, ˙
g). Montrons que
(14)
˙
d ∈ D F [d V ].
Puisque ˙
g = z
¯
a
−1 gh
−1 et que ¯
a ∈ ¯
G, on a
˙
g
−1 η ˙
g = ad hg −1 ((θ − 1)(z
)η) = ad hg −1 (tη) = ad h (η[d]).
Donc ˙
g
−1 η ˙
g ∈ ˜
G(A F ). Puisque c’est aussi un élément de ˜
G( ¯
F ), c’est un élément
de ˜
G(F ). Notons ˙
ψ la restriction de ad ˙
g à G ˙
g −1 η ˙
g , qui est un isomorphisme de ce
groupe sur ¯
G. Pour σ ∈ Γ F , calculons
σ( ˙
ψ) ◦ ˙
ψ
−1 = σ ¯
G ◦ ˙
ψ ◦ σ
−1
◦ ˙
ψ
−1 .
En utilisant (12), c’est la restriction à G ˙
g −1 η ˙
g de
ad σ ¯
G (¯ x)¯ x −1 ◦ ad X(σ)u E ∗ (σ) ◦σ ◦ ad ˙
g ◦σ
−1
◦ ad ˙
g −1
= ad σ ¯
G (¯ x)¯ x −1 ◦ ad X(σ)u E ∗ (σ) ◦ ad σ( ˙
g) ˙
g −1 .
D’après les définitions, on a
ad σ( ˙
g) ˙
g −1 = ad σ( ˙
gsc) ˙
g
−1
sc
= ad σ(¯ a −1 g)g −1 ¯
a .
Posons ¯
u(σ) = X(σ)u E ∗ (σ)σ(¯ a
−1 g)g
−1 ¯
a. On obtient que σ( ˙
ψ) ◦ ˙
ψ
−1 est la restriction à ¯
G de ad σ ¯
G (¯ x)¯ x −1 ¯
u(σ) . Mais ¯
x ∈ ¯
G SC ( ¯
F ) et (13) montre que l’on a aussi
¯
u(σ) ∈ ¯
G SC ( ¯
F ). Donc ˙
ψ est un torseur intérieur de G ˙
g −1 η ˙
g sur ¯
G. Cela prouve
que ˙
d ∈ D F . On peut étendre le corps E de sorte que tous les éléments intervenant appartiennent à G(A E ). Soit v une place de F , notons w la restriction de
¯
v à E. On se rappelle que g w ∈ T
∗ ( ¯
F ¯
v )r[d v ]G η[dv ] ( ¯
F ¯
v ). Ecrivons conformément