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Chapitre VII. Descente globale
que cela ne perturbe aucune des relations ci-dessus mais cela remplace ψ(σ) par
ad¯ tsc(σ) ◦ψ(σ). Après ce remplacement, on obtient simplement
(11)
ψ(σ) = ad ¯
xσ ¯
G (¯ x) −1 ◦σ ¯
G .
En utilisant les définitions, on en déduit
(12)
σ ¯
G = ad σ ¯
G (¯ x)¯ x −1 ◦ψ(σ) = ad σ ¯
G (¯ x)¯ x −1 ◦ ad X(σ) ◦σ G ∗
= ad σ ¯
G (¯ x)¯ x −1 ◦ ad X(σ)u E ∗ (σ) ◦σ = ad σ ¯
G (¯ x)¯ x −1 ◦ ad β(σ)gσ(g) −1 ◦σ.
Il résulte de (11) que ψ est un homomorphisme de Γ F dans le groupe des automorphismes de ¯
G (il s’agit ici d’automorphismes de groupes abstraits). En revenant à
la définition de ψ, on obtient que, pour σ 1 , σ 2 ∈ Γ F , les automorphismes
ad X(σ)1 ◦σ 1,G ∗ ◦ ad X(σ2) ◦σ 2,G ∗
et
ad X(σ1σ2) ◦(σ 1 σ 2 ) G ∗
coïncident sur ¯
G. Cela équivaut à dire que X(σ 1 )σ 1,G ∗ (X(σ 2 ))X(σ 1 σ 2 )
−1 commute à ¯
G. En utilisant la définition de la cochaîne X et en se rappelant que
ad xσ G ∗ (x) −1 ◦σ G ∗ = σ S sur T
∗ , on calcule
X(σ 1 )σ 1,G ∗ (X(σ 2 ))X(σ 1 σ 2 )
−1 = A(σ 1 )σ 1,S (A(σ 2 ))A(σ 1 σ 2 )
−1 = ∂ S (A)(σ 1 , σ 2 ).
On a noté ∂ S la différentielle calculée pour l’action σ → σ S . Donc ∂ S (A) prend
ses valeurs dans le commutant de ¯
G. Par définition, on a
∂ S (A) = ∂ S (β)∂ S (V
−1
S ).
On calcule aisément ∂ S (V
−1
S ) = ∂(u E ∗ )
−1 , où ∂ est la différentielle calculée pour
l’action naturelle. On sait que ∂(u E ∗ ) est à valeurs dans Z(G SC ), a fortiori dans le
commutant de ¯
G. Donc ∂ S (β) prend aussi ses valeurs dans ce commutant. Puisque
β devient un cocycle quand on le pousse dans ¯
T sc (A ¯
F )/ ¯
T sc ( ¯
F ), ∂ S (β) est à valeurs
dans ¯
T sc ( ¯
F ). L’intersection de ce groupe avec le commutant de ¯
G est Z( ¯
G SC ; ¯
F ).
Donc ∂ S (β) est à valeurs dans ce dernier groupe.
Définissons une cochaîne ¯
X : Γ F → ¯
G SC (A ¯
F ) par ¯
X(σ) = β(σ)
−1 ¯
xσ ¯
G (¯ x)
−1 .
Un calcul simple montre que ∂ ¯
G ( ¯
X) = ∂ S (β)
−1 , où ∂ ¯
G est la différentielle pour l’action σ → σ ¯
G . Donc ¯
X se pousse en un cocycle de Γ F dans ¯
G SC (A ¯
F )/Z( ¯
G SC ; ¯
F ).
Parce que ¯
G SC est simplement connexe, le théorème 2.2 de [46] dit que l’application naturelle
H
1 (Γ F ; ¯
G SC ( ¯
F )/Z(G SC ; ¯
F )) → H
1 (Γ F ; ¯
G SC (A ¯
F )/Z( ¯
G SC ; ¯
F ))
est surjective. Ainsi, on peut fixer ¯
a ∈ ¯
G SC (A ¯
F ) tel que
¯
a
−1 ¯
X(σ)σ ¯
G (¯ a) ∈ ¯
G SC ( ¯
F )
Chapitre VII. Descente globale
que cela ne perturbe aucune des relations ci-dessus mais cela remplace ψ(σ) par
ad¯ tsc(σ) ◦ψ(σ). Après ce remplacement, on obtient simplement
(11)
ψ(σ) = ad ¯
xσ ¯
G (¯ x) −1 ◦σ ¯
G .
En utilisant les définitions, on en déduit
(12)
σ ¯
G = ad σ ¯
G (¯ x)¯ x −1 ◦ψ(σ) = ad σ ¯
G (¯ x)¯ x −1 ◦ ad X(σ) ◦σ G ∗
= ad σ ¯
G (¯ x)¯ x −1 ◦ ad X(σ)u E ∗ (σ) ◦σ = ad σ ¯
G (¯ x)¯ x −1 ◦ ad β(σ)gσ(g) −1 ◦σ.
Il résulte de (11) que ψ est un homomorphisme de Γ F dans le groupe des automorphismes de ¯
G (il s’agit ici d’automorphismes de groupes abstraits). En revenant à
la définition de ψ, on obtient que, pour σ 1 , σ 2 ∈ Γ F , les automorphismes
ad X(σ)1 ◦σ 1,G ∗ ◦ ad X(σ2) ◦σ 2,G ∗
et
ad X(σ1σ2) ◦(σ 1 σ 2 ) G ∗
coïncident sur ¯
G. Cela équivaut à dire que X(σ 1 )σ 1,G ∗ (X(σ 2 ))X(σ 1 σ 2 )
−1 commute à ¯
G. En utilisant la définition de la cochaîne X et en se rappelant que
ad xσ G ∗ (x) −1 ◦σ G ∗ = σ S sur T
∗ , on calcule
X(σ 1 )σ 1,G ∗ (X(σ 2 ))X(σ 1 σ 2 )
−1 = A(σ 1 )σ 1,S (A(σ 2 ))A(σ 1 σ 2 )
−1 = ∂ S (A)(σ 1 , σ 2 ).
On a noté ∂ S la différentielle calculée pour l’action σ → σ S . Donc ∂ S (A) prend
ses valeurs dans le commutant de ¯
G. Par définition, on a
∂ S (A) = ∂ S (β)∂ S (V
−1
S ).
On calcule aisément ∂ S (V
−1
S ) = ∂(u E ∗ )
−1 , où ∂ est la différentielle calculée pour
l’action naturelle. On sait que ∂(u E ∗ ) est à valeurs dans Z(G SC ), a fortiori dans le
commutant de ¯
G. Donc ∂ S (β) prend aussi ses valeurs dans ce commutant. Puisque
β devient un cocycle quand on le pousse dans ¯
T sc (A ¯
F )/ ¯
T sc ( ¯
F ), ∂ S (β) est à valeurs
dans ¯
T sc ( ¯
F ). L’intersection de ce groupe avec le commutant de ¯
G est Z( ¯
G SC ; ¯
F ).
Donc ∂ S (β) est à valeurs dans ce dernier groupe.
Définissons une cochaîne ¯
X : Γ F → ¯
G SC (A ¯
F ) par ¯
X(σ) = β(σ)
−1 ¯
xσ ¯
G (¯ x)
−1 .
Un calcul simple montre que ∂ ¯
G ( ¯
X) = ∂ S (β)
−1 , où ∂ ¯
G est la différentielle pour l’action σ → σ ¯
G . Donc ¯
X se pousse en un cocycle de Γ F dans ¯
G SC (A ¯
F )/Z( ¯
G SC ; ¯
F ).
Parce que ¯
G SC est simplement connexe, le théorème 2.2 de [46] dit que l’application naturelle
H
1 (Γ F ; ¯
G SC ( ¯
F )/Z(G SC ; ¯
F )) → H
1 (Γ F ; ¯
G SC (A ¯
F )/Z( ¯
G SC ; ¯
F ))
est surjective. Ainsi, on peut fixer ¯
a ∈ ¯
G SC (A ¯
F ) tel que
¯
a
−1 ¯
X(σ)σ ¯
G (¯ a) ∈ ¯
G SC ( ¯
F )