VII.6. Calculs de facteurs de transfert
865
Donc, pour ce nouveau choix d’élément g, on a
(10)
V S (σ) ∈ β(σ)T
∗
sc ( ¯
F )
pour tout σ ∈ Γ F et t
−1 = (1 − θ)(z
), avec z
∈ Z(G; ¯
F ).
Pour σ ∈ Γ F , on pose
A(σ) = β(σ)V S (σ)
−1 et X(σ) = A(σ)xσ G ∗ (x)
−1 = β(σ)gσ(g)
−1 u E ∗ (σ)
−1 .
D’après (10), A est une cochaîne à valeurs dans T
∗
sc ( ¯
F ), donc X prend ses valeurs
dans G sc ( ¯
F ). On calcule
ad X(σ)u E ∗ (σ) ◦σ(η) = ad β(σ)gσ(g) −1 ◦σ(η)
= ad β(σ)g (σ(g)
−1 σ(η)σ(g)) = ad β(σ)g ◦σ(g
−1 ηg).
Par définition de g et t, on a g
−1 tηg = η[d]. Puisque t = (θ − 1)(z
) est central,
cela implique g
−1 ηg = t
−1 η[d]. L’élément η[d] est fixe par Γ F . D’où
ad β(σ) ◦σ(g
−1 ηg) = ad β(σ)g (σ(t
−1 )η[d]) = σ(t)
−1 ad β(σ) ◦ ad g (η[d])
= σ(t
−1 ) ad β(σ) (tη) = tσ(t)
−1 ad β(σ) (η)
toujours parce que t est central. Mais β(σ) ∈ S ¯
H (A ¯
F ), a fortiori β(σ) ∈ ¯
G SC (A ¯
F )
donc ad β(σ) fixe η. On obtient finalement
ad X(σ)u E ∗ (σ) ◦σ(η) = tσ(t)
−1 η.
Puisque t est central, on a l’égalité G tσ(t) −1 η = G η = ¯
G. L’égalité précédente
implique que l’automorphisme ad X(σ) ◦σ G ∗ de G( ¯
F ) conserve ¯
G( ¯
F ). Notons ψ(σ)
sa restriction à ¯
G. On a introduit l’action quasi-déployée σ → σ ¯
G sur ¯
G relative à
la paire de Borel épinglée fixée en 5.2. Rappelons que l’on a
ad X(σ) ◦σ G ∗ = ad A(σ) ad xσ G ∗ (x) −1 ◦σ G ∗ .
Par définition de x, xσ G ∗ (x)
−1 normalise T
∗ et son image dans le groupe W est
ω S (σ). De plus, A(σ) ∈ T
∗
sc ( ¯
F ). On en déduit que ψ(σ) conserve ¯
T = T
θ
∗ ,0 et que
sa restriction à ¯
T coincide avec ω S, ¯
G (σ)σ ¯
G , où ω S, ¯
G (σ) = ω S (σ)ω ¯
G (σ)
−1 . On a
ω S, ¯
G (σ) ∈ W
¯
G et le corollaire 2.2 de [44] permet de fixer un élément ¯
x ∈ ¯
G SC ( ¯
F )
tel que ¯
xσ ¯
G (¯ x)
−1 normalise ¯
T et que son image dans W
¯
G soit ω S, ¯
G (σ). Alors les
automorphismes ψ(σ) et ad ¯
xσ ¯
G (¯ x) −1 ◦σ ¯
G de ¯
G( ¯
F ) coïncident sur ¯
T . Il existe donc
¯
t sc (σ) ∈ ¯
T sc ( ¯
F ) tel que
ad¯ tsc(σ) ◦ψ(σ) = ad ¯
xσ ¯
G (¯ x) −1 ◦σ ¯
G .
L’élément β(σ) est un relèvement dans ¯
T sc (A ¯
F ) de notre cocycle initial à valeurs
dans ¯
T sc (A ¯
F )/ ¯
T sc ( ¯
F ). On peut le multiplier par l’élément ¯
t sc (σ) ∈ ¯
T sc ( ¯
F ). On voit
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Donc, pour ce nouveau choix d’élément g, on a
(10)
V S (σ) ∈ β(σ)T
∗
sc ( ¯
F )
pour tout σ ∈ Γ F et t
−1 = (1 − θ)(z
), avec z
∈ Z(G; ¯
F ).
Pour σ ∈ Γ F , on pose
A(σ) = β(σ)V S (σ)
−1 et X(σ) = A(σ)xσ G ∗ (x)
−1 = β(σ)gσ(g)
−1 u E ∗ (σ)
−1 .
D’après (10), A est une cochaîne à valeurs dans T
∗
sc ( ¯
F ), donc X prend ses valeurs
dans G sc ( ¯
F ). On calcule
ad X(σ)u E ∗ (σ) ◦σ(η) = ad β(σ)gσ(g) −1 ◦σ(η)
= ad β(σ)g (σ(g)
−1 σ(η)σ(g)) = ad β(σ)g ◦σ(g
−1 ηg).
Par définition de g et t, on a g
−1 tηg = η[d]. Puisque t = (θ − 1)(z
) est central,
cela implique g
−1 ηg = t
−1 η[d]. L’élément η[d] est fixe par Γ F . D’où
ad β(σ) ◦σ(g
−1 ηg) = ad β(σ)g (σ(t
−1 )η[d]) = σ(t)
−1 ad β(σ) ◦ ad g (η[d])
= σ(t
−1 ) ad β(σ) (tη) = tσ(t)
−1 ad β(σ) (η)
toujours parce que t est central. Mais β(σ) ∈ S ¯
H (A ¯
F ), a fortiori β(σ) ∈ ¯
G SC (A ¯
F )
donc ad β(σ) fixe η. On obtient finalement
ad X(σ)u E ∗ (σ) ◦σ(η) = tσ(t)
−1 η.
Puisque t est central, on a l’égalité G tσ(t) −1 η = G η = ¯
G. L’égalité précédente
implique que l’automorphisme ad X(σ) ◦σ G ∗ de G( ¯
F ) conserve ¯
G( ¯
F ). Notons ψ(σ)
sa restriction à ¯
G. On a introduit l’action quasi-déployée σ → σ ¯
G sur ¯
G relative à
la paire de Borel épinglée fixée en 5.2. Rappelons que l’on a
ad X(σ) ◦σ G ∗ = ad A(σ) ad xσ G ∗ (x) −1 ◦σ G ∗ .
Par définition de x, xσ G ∗ (x)
−1 normalise T
∗ et son image dans le groupe W est
ω S (σ). De plus, A(σ) ∈ T
∗
sc ( ¯
F ). On en déduit que ψ(σ) conserve ¯
T = T
θ
∗ ,0 et que
sa restriction à ¯
T coincide avec ω S, ¯
G (σ)σ ¯
G , où ω S, ¯
G (σ) = ω S (σ)ω ¯
G (σ)
−1 . On a
ω S, ¯
G (σ) ∈ W
¯
G et le corollaire 2.2 de [44] permet de fixer un élément ¯
x ∈ ¯
G SC ( ¯
F )
tel que ¯
xσ ¯
G (¯ x)
−1 normalise ¯
T et que son image dans W
¯
G soit ω S, ¯
G (σ). Alors les
automorphismes ψ(σ) et ad ¯
xσ ¯
G (¯ x) −1 ◦σ ¯
G de ¯
G( ¯
F ) coïncident sur ¯
T . Il existe donc
¯
t sc (σ) ∈ ¯
T sc ( ¯
F ) tel que
ad¯ tsc(σ) ◦ψ(σ) = ad ¯
xσ ¯
G (¯ x) −1 ◦σ ¯
G .
L’élément β(σ) est un relèvement dans ¯
T sc (A ¯
F ) de notre cocycle initial à valeurs
dans ¯
T sc (A ¯
F )/ ¯
T sc ( ¯
F ). On peut le multiplier par l’élément ¯
t sc (σ) ∈ ¯
T sc ( ¯
F ). On voit