864
Chapitre VII. Descente globale
– on envoie G ,ab (F v ) dans H
1,0 (F v ; S sc
1−θ
→ (1 − θ)(S)) par la suite d’applicatons
G ,ab (F v ) H
1,0 (F v ; S sc [d v ] → S[d v ]/Z(G)
θ,0 )
→ H
1,0 (F v ; S sc [d v ]
1−θ
→ (1 − θ)(S[d v ]))
adg w
H
1,0 (F v ; S sc
1−θ
→ (1 − θ)(S));
– on envoie H
1,0 (F v ; S sc
1−θ
→ (1 − θ)(S)) dans Q par la même application que
plus haut.
En se rappelant les égalités h v k ,v = c w g w et t w = (θ − 1)(c w ) et les définitions, on voit que l’image de (h v , k ,v ) dans H
1,0 (F v ; S sc [d v ] → S[d v ]/Z(G)
θ,0 ) est
(χ
−1
v , c w ), donc son image dans H
1,0 (F v ; S sc
1−θ
→ (1 − θ)(S)) est
(ad gw (χ
−1
v ), ad gw (t
−1
w )).
On obtient que q 2 (h v )q 3 (k ,v ) est l’inverse de l’image de (ad gw (χ v ), ad gw (t w ))
dans Q. Donc (V
S , t
) est égal au produit de (V S , t) et de q 2 (h)
−1 q 3 (k )
−1 . D’où
(V
S , t
) = q 1 (β). Cela prouve (7).
Il reste à prouver
(8) supposons que (V S , t) appartienne à q 1 (Q 1 ) ; alors D F [d V ] = ∅.
Supposons (V S , t) = q 1 (β), où β ∈ Q 1 = H
1 (A F /F ; S ¯
H ). On relève β en une
cochaîne encore notée β à valeurs dans S ¯
H (A ¯
F ), que l’on pousse en une cochaîne à
valeurs dans S sc (A ¯
F ). Il est maintenant plus commode d’identifier S à T
∗ , muni de
l’action galoisienne σ → σ S . Notons que le tore S ¯
H s’identifie à l’image réciproque
¯
T sc dans ¯
G SC du sous-tore maximal ¯
T = T
θ
∗ ,0 de ¯
G. L’égalité (V S , t) = q(β)
signifie qu’il existe un élément t sc ∈ T
∗
sc (A ¯
F ) de sorte que l’on ait les relations
(9)
V S (σ)σ S (t sc )
−1 t sc ∈ β(σ)T
∗
sc ( ¯
F )
pour tout σ ∈ Γ F et
tt
−1
sc θ(t sc ) ∈ ((1 − θ)(T
∗ ))( ¯
F ).
Fixons un tel élément. On a ((1 − θ)(T
∗ ))( ¯
F ) = (1 − θ)(T
∗ ( ¯
F )). Il existe donc
t
∈ T
∗ ( ¯
F ) tel que t
−1 (1−θ)(t sc ) = (1−θ)(t
). On écrit t
= t
sc z
, avec t
sc ∈ T
∗
sc ( ¯
F )
et z
∈ Z(G; ¯
F ). On peut remplacer t sc par t sc (t
sc )
−1 sans perturber la relation (9).
On peut donc supposer qu’il existe z
∈ Z(G; ¯
F ) tel que t
−1 (1−θ)(t sc ) = (1−θ)(z
).
On peut remplacer g par t
−1
sc g. Cela ne perturbe pas les conditions imposées à cet
élément. Evidemment, le nouvel élément obtenu n’a pas de raison d’appartenir à
G SC (A E ). Mais on peut à ce point oublier cette propriété et considérer g comme un
élément de G SC (A ¯
F ) (ou bien, on étend E de sorte que t sc appartienne à T
∗
sc (A E )).
En modifiant ainsi g, le cocycle V S est remplacé par σ → V S (σ)σ S (t sc )
−1 t sc et
l’élément t est remplacé par t(θ − 1)(t sc ).