VII.6. Calculs de facteurs de transfert
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dans Q 2 et Q 3 . Pour presque tout v, h v appartient à K v . Alors l’image de h v
par q 2 est la même que l’image par q 3 de l’image naturelle de h v dans K ,v .
Quitte à modifier k ,v , on peut donc supposer h v = 1. On peut donc fixer un
ensemble fini V
de places de F , contenant V , tel que h v = 1 pour v ∈ V
. On
peut imposer de plus que S est non ramifié hors de V
. Pour v ∈ V
, l’image
de K ,v dans G ,ab (F v ) coïncide avec celle de (S[d v ]/Z(G)
θ )(o v ) (cf. 1.5(2)). On
peut donc supposer que k ,v est un élément de (S[d v ]/Z(G)
θ )(o v ). Pour tout v, on
relève k ,v en un élément k ,v ∈ K ,v (on rappelle que ce groupe est l’image réciproque de K ,v dans G( ¯
F v )). Pour unifier l’écriture, on pose k ,v = 1 pour v ∈ V .
Pour tout v, on définit l’élément d
v = (η[d
v ], r[d
v ]) par η[d
v ] = ad (hvk ,v ) −1 (η[d v ]),
r[d
v ] = r[d v ]h v k ,v . La famille d
= (d
v ) v∈Val(F ) appartient encore à D AF car, pour
v ∈ V
, η[d
v ] = (1 − θ)(k ,v )η[d v ] ∈ ((1 − θ)(S[d v ]))(o v )η[d v ] et cet ensemble est
contenu dans K v η[d v ] pour presque tout v d’après le (i) de la proposition 6.7. Pour
v ∈ V , d v appartient à D
nr
v et le lemme 5.5 entraîne que d
v ∈ D
nr
v . La projection
de d
dans D V appartient à d V G(F V ) puisque d
v = d v h v pour v ∈ V . Pour tout
v ∈ Val(F ), posons (B[d
v ], S[d
v ]) = ad (hvk ,v ) −1 (B[d v ], S[d v ]). Puisque ad (hv k ,v ) −1
est défini sur F v , cette paire vérifie pour d
v les mêmes conditions que (B[d v ], S[d v ])
pour d v . De plus, on a (B[d
v ], S[d
v ]) = (B[d v ], S[d v ]) pour v ∈ V
puisqu’alors
h v = 1 et k ,v ∈ S[d v ]( ¯
F v ). Soit v une place de F , notons w la restriction de ¯
v à
E. Les deux paires (B[d v ], S[d v ]) et (B[d
v ], S[d
v ]) étant déployées sur E w , on peut
fixer g w ∈ G SC (E w ) tel que ad gw (B[d
v ], S[d
v ]) = (B[d v ], S[d v ]). Les deux paires
étant égales pour v ∈ V
, on suppose g w = 1 dans ce cas. Puisque h v k ,v vérifie la même condition que g w , c’est-à-dire ad hvk ,v (B[d
v ], S[d
v ]) = (B[d v ], S[d v ]),
il existe c w ∈ S[d v ] tel que h v k ,v = c w g w . On a ad gw (η[d
v ]) = t w η[d v ], où
t w = (θ − 1)(c w ). Cette relation entraîne que t w ∈ ((1 − θ)(S[d v ]))(E w ). De plus,
on a c w = k ,v pour v ∈ V
, donc t w ∈ ((1 − θ)(S[d v ]))(o v ) dans ce cas. Pour une
autre place w
de E au-dessus de v, on a fixé τ ∈ Γ F tel que τ (w) = w
, on pose
g w = τ (g w ) et t w = τ (t w ). On pose g = (g w ) w ∈Val(E) et t = (t w ) w ∈Val(E) . On
voit alors que les paires (B[d
v ], S[d
v ]) pour v ∈ Val(F ) et les éléments g
= gg et
t
= t ad g (t) satisfont les conditions de la proposition 6.7 pour l’élément d
.
On peut reprendre nos constructions pour l’élément d
et ces données auxiliaires. On affecte d’un
les objets obtenus. On calcule
V
S (σ) = V S (σ) ad g (σ(g)g
−1 )
pour tout σ ∈ Γ F . Le couple (V
S , t
) est donc le produit de (V S , t) et du cocycle
(ad g (χ), ad g (t)), où χ(σ) = σ(g)g
−1 . Pour v ∈ Val(F ), on définit le cocycle localisé
(ad gw (χ v ), ad gw (t w )), où χ v (σ) = σ(g w )g
−1
w pour σ ∈ Γ Fv . Alors (ad g (χ), ad g (t))
est l’image naturelle dans Q de l’élément de H
1,0 (A F ; S sc
1−θ
→ (1 − θ)(S)) dont
la composante en une place v est (ad gw (χ v ), ad gw (t w )). Ce dernier est un élément de H
1,0 (F v ; S sc
1−θ
→ (1 − θ)(S)). D’autre part, il résulte des définitions que
q 2 (h v )q 3 (k ,v ) est l’image de (h v , k ,v ) par la suite d’applications suivantes :
– on envoie (h v , k ,v ) sur le produit des images de h v et k ,v dans G ,ab (F v ) ;
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dans Q 2 et Q 3 . Pour presque tout v, h v appartient à K v . Alors l’image de h v
par q 2 est la même que l’image par q 3 de l’image naturelle de h v dans K ,v .
Quitte à modifier k ,v , on peut donc supposer h v = 1. On peut donc fixer un
ensemble fini V
de places de F , contenant V , tel que h v = 1 pour v ∈ V
. On
peut imposer de plus que S est non ramifié hors de V
. Pour v ∈ V
, l’image
de K ,v dans G ,ab (F v ) coïncide avec celle de (S[d v ]/Z(G)
θ )(o v ) (cf. 1.5(2)). On
peut donc supposer que k ,v est un élément de (S[d v ]/Z(G)
θ )(o v ). Pour tout v, on
relève k ,v en un élément k ,v ∈ K ,v (on rappelle que ce groupe est l’image réciproque de K ,v dans G( ¯
F v )). Pour unifier l’écriture, on pose k ,v = 1 pour v ∈ V .
Pour tout v, on définit l’élément d
v = (η[d
v ], r[d
v ]) par η[d
v ] = ad (hvk ,v ) −1 (η[d v ]),
r[d
v ] = r[d v ]h v k ,v . La famille d
= (d
v ) v∈Val(F ) appartient encore à D AF car, pour
v ∈ V
, η[d
v ] = (1 − θ)(k ,v )η[d v ] ∈ ((1 − θ)(S[d v ]))(o v )η[d v ] et cet ensemble est
contenu dans K v η[d v ] pour presque tout v d’après le (i) de la proposition 6.7. Pour
v ∈ V , d v appartient à D
nr
v et le lemme 5.5 entraîne que d
v ∈ D
nr
v . La projection
de d
dans D V appartient à d V G(F V ) puisque d
v = d v h v pour v ∈ V . Pour tout
v ∈ Val(F ), posons (B[d
v ], S[d
v ]) = ad (hvk ,v ) −1 (B[d v ], S[d v ]). Puisque ad (hv k ,v ) −1
est défini sur F v , cette paire vérifie pour d
v les mêmes conditions que (B[d v ], S[d v ])
pour d v . De plus, on a (B[d
v ], S[d
v ]) = (B[d v ], S[d v ]) pour v ∈ V
puisqu’alors
h v = 1 et k ,v ∈ S[d v ]( ¯
F v ). Soit v une place de F , notons w la restriction de ¯
v à
E. Les deux paires (B[d v ], S[d v ]) et (B[d
v ], S[d
v ]) étant déployées sur E w , on peut
fixer g w ∈ G SC (E w ) tel que ad gw (B[d
v ], S[d
v ]) = (B[d v ], S[d v ]). Les deux paires
étant égales pour v ∈ V
, on suppose g w = 1 dans ce cas. Puisque h v k ,v vérifie la même condition que g w , c’est-à-dire ad hvk ,v (B[d
v ], S[d
v ]) = (B[d v ], S[d v ]),
il existe c w ∈ S[d v ] tel que h v k ,v = c w g w . On a ad gw (η[d
v ]) = t w η[d v ], où
t w = (θ − 1)(c w ). Cette relation entraîne que t w ∈ ((1 − θ)(S[d v ]))(E w ). De plus,
on a c w = k ,v pour v ∈ V
, donc t w ∈ ((1 − θ)(S[d v ]))(o v ) dans ce cas. Pour une
autre place w
de E au-dessus de v, on a fixé τ ∈ Γ F tel que τ (w) = w
, on pose
g w = τ (g w ) et t w = τ (t w ). On pose g = (g w ) w ∈Val(E) et t = (t w ) w ∈Val(E) . On
voit alors que les paires (B[d
v ], S[d
v ]) pour v ∈ Val(F ) et les éléments g
= gg et
t
= t ad g (t) satisfont les conditions de la proposition 6.7 pour l’élément d
.
On peut reprendre nos constructions pour l’élément d
et ces données auxiliaires. On affecte d’un
les objets obtenus. On calcule
V
S (σ) = V S (σ) ad g (σ(g)g
−1 )
pour tout σ ∈ Γ F . Le couple (V
S , t
) est donc le produit de (V S , t) et du cocycle
(ad g (χ), ad g (t)), où χ(σ) = σ(g)g
−1 . Pour v ∈ Val(F ), on définit le cocycle localisé
(ad gw (χ v ), ad gw (t w )), où χ v (σ) = σ(g w )g
−1
w pour σ ∈ Γ Fv . Alors (ad g (χ), ad g (t))
est l’image naturelle dans Q de l’élément de H
1,0 (A F ; S sc
1−θ
→ (1 − θ)(S)) dont
la composante en une place v est (ad gw (χ v ), ad gw (t w )). Ce dernier est un élément de H
1,0 (F v ; S sc
1−θ
→ (1 − θ)(S)). D’autre part, il résulte des définitions que
q 2 (h v )q 3 (k ,v ) est l’image de (h v , k ,v ) par la suite d’applications suivantes :
– on envoie (h v , k ,v ) sur le produit des images de h v et k ,v dans G ,ab (F v ) ;