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Chapitre VII. Descente globale
un ensemble fini de places V
contenant V tel que le caractère vaille 1 aux composantes hors de V
de ce point, puis supposer les composantes dans V
− V
assez proches de l’élément neutre pour que le caractère vaille aussi 1 sur ces composantes. Modulo ces modifications, la limite de la valeur du caractère quand
les composantes dans V tendent vers l’élément neutre vaut 1. Donc, pour calculer
notre limite, on peut remplacer le couple (x S [d]tν, y j ,1 μ j,1 ) par (tν, μ j,1 ). Mais ν et
μ j,1 sont des éléments de S(E) et S j,1 (E). Ils disparaissent dans S j,1 (A E )/S j,1 (E).
Le terme t est l’image de ce même terme considéré comme un élément de ((1 −
θ)(S))(A E )/((1 − θ)(S))(E). On vérifie que le couple (V S , t) définit un cocycle
dans Z
1,0 (A F /F ; S sc
1−θ
→ (1 − θ)(S)). Notre élément h est l’image de ce cocycle
par l’homomorphisme naturel
Q = H
1,0 (A F /F ; S sc
1−θ
→ (1 − θ)(S)) → H
1,0 (A F /F ; S sc
1−θ
→ S j,1 ).
Le tore dual de (1 − θ)(S) est ˆ
S/ ˆ
S
ˆ
θ,0 . Par compatibilité des produits, on a l’égalité
h, ˆ
h
=
(V S , t), ˆ
h
, où ˆ
h est l’image de ˆ
h par l’homomorphisme dual
H
1,0 (W F ; ˆ
S j,1
1− ˆ
θ
→ ˆ
S ad ) → P = H
1,0 (W F ; ˆ
S/ ˆ
S
ˆ
θ,0 1− ˆ
θ
→ ˆ
S ad ).
Il suffit de comparer les définitions pour constater que ˆ
h
n’est autre que p(j) = p.
La limite du dénominateur de (6) est donc égale à (V S , t), p
−1 . Un même calcul
s’applique au numérateur : sa limite est
(V S , t), p
0 p
−1 . On obtient que la limite
de (6) est
(V S , t), p
0
−1 . Cela achève le calcul de notre rapport
δ j [d V ]δ j [d V ]
−1 =
(V S , t), p
0
−1 .
La somme de l’énoncé de la proposition est donc égale à
δ j [d V ]
p 0 ∈P 0
(V S , t), p
0
−1 .
Cette somme est nulle si (V S , t) n’appartient pas à l’annulateur de P
0 , c’est-à-dire
à Q 0 d’après le lemme 6.6. Pour établir la proposition, il suffit donc de prouver
que, si (V S , t) appartient à Q 0 , alors D F [d V ] = ∅.
On va d’abord prouver
(7) supposons que (V S , t) appartienne à Q 0 ; alors il existe un élément d
vérifiant
les mêmes hypothèses que d et tel que son couple associé (V
S , t
) appartienne
à q 1 (Q 1 ).
D’après le lemme 6.3, l’application G(A F ) → Q 2 est surjective. D’après
6.2(1), l’application naturelle
v ∈V K ,v → Q 3 est surjective. L’hypothèse signifie
qu’il existe β ∈ Q 1 , h = (h v ) v∈Val(F ) ∈ G(A F ) et k = (k ,v ) v ∈V ∈
v ∈V K ,v
de sorte que (V S , t) = q 1 (β)q 2 (h)q 3 (k ), où on identifie h et k à leurs images
Chapitre VII. Descente globale
un ensemble fini de places V
contenant V tel que le caractère vaille 1 aux composantes hors de V
de ce point, puis supposer les composantes dans V
− V
assez proches de l’élément neutre pour que le caractère vaille aussi 1 sur ces composantes. Modulo ces modifications, la limite de la valeur du caractère quand
les composantes dans V tendent vers l’élément neutre vaut 1. Donc, pour calculer
notre limite, on peut remplacer le couple (x S [d]tν, y j ,1 μ j,1 ) par (tν, μ j,1 ). Mais ν et
μ j,1 sont des éléments de S(E) et S j,1 (E). Ils disparaissent dans S j,1 (A E )/S j,1 (E).
Le terme t est l’image de ce même terme considéré comme un élément de ((1 −
θ)(S))(A E )/((1 − θ)(S))(E). On vérifie que le couple (V S , t) définit un cocycle
dans Z
1,0 (A F /F ; S sc
1−θ
→ (1 − θ)(S)). Notre élément h est l’image de ce cocycle
par l’homomorphisme naturel
Q = H
1,0 (A F /F ; S sc
1−θ
→ (1 − θ)(S)) → H
1,0 (A F /F ; S sc
1−θ
→ S j,1 ).
Le tore dual de (1 − θ)(S) est ˆ
S/ ˆ
S
ˆ
θ,0 . Par compatibilité des produits, on a l’égalité
h, ˆ
h
=
(V S , t), ˆ
h
, où ˆ
h est l’image de ˆ
h par l’homomorphisme dual
H
1,0 (W F ; ˆ
S j,1
1− ˆ
θ
→ ˆ
S ad ) → P = H
1,0 (W F ; ˆ
S/ ˆ
S
ˆ
θ,0 1− ˆ
θ
→ ˆ
S ad ).
Il suffit de comparer les définitions pour constater que ˆ
h
n’est autre que p(j) = p.
La limite du dénominateur de (6) est donc égale à (V S , t), p
−1 . Un même calcul
s’applique au numérateur : sa limite est
(V S , t), p
0 p
−1 . On obtient que la limite
de (6) est
(V S , t), p
0
−1 . Cela achève le calcul de notre rapport
δ j [d V ]δ j [d V ]
−1 =
(V S , t), p
0
−1 .
La somme de l’énoncé de la proposition est donc égale à
δ j [d V ]
p 0 ∈P 0
(V S , t), p
0
−1 .
Cette somme est nulle si (V S , t) n’appartient pas à l’annulateur de P
0 , c’est-à-dire
à Q 0 d’après le lemme 6.6. Pour établir la proposition, il suffit donc de prouver
que, si (V S , t) appartient à Q 0 , alors D F [d V ] = ∅.
On va d’abord prouver
(7) supposons que (V S , t) appartienne à Q 0 ; alors il existe un élément d
vérifiant
les mêmes hypothèses que d et tel que son couple associé (V
S , t
) appartienne
à q 1 (Q 1 ).
D’après le lemme 6.3, l’application G(A F ) → Q 2 est surjective. D’après
6.2(1), l’application naturelle
v ∈V K ,v → Q 3 est surjective. L’hypothèse signifie
qu’il existe β ∈ Q 1 , h = (h v ) v∈Val(F ) ∈ G(A F ) et k = (k ,v ) v ∈V ∈
v ∈V K ,v
de sorte que (V S , t) = q 1 (β)q 2 (h)q 3 (k ), où on identifie h et k à leurs images