VII.6. Calculs de facteurs de transfert
861
qui se relève en une racine α ∈ Σ(S) de type 2. Une telle racine contribue au
numérateur comme au dénominateur de Δ j ,j,II [d] soit par 1, soit par
χ αres
(N α)(x S [d]ν)
2
− 1
a αres
,
soit par χ αres ((N α)(x S [d]ν) + 1). Si (N α)(ν) = ±1, le même raisonnement que cidessus montre que α res ne contribue pas à lim Δ j ,j,II [d]. Supposons (N α)(ν) = 1.
Le même raisonnement montre que la troisième contribution possible est triviale
et que l’on peut remplacer la seconde par χ αres ((N α)(x S [d]ν) − 1). La condition
(N α)(ν) = 1 signifie que α res est une racine de ¯
G et 2N ˆ
α est une racine de
ˆ ¯
G. On a alors les égalités (N ˆ
α)(s j )
2 = (N ˆ
α)(s j )
2 = (N ˆ
α)(¯ s)
2 . Les conditions
(N ˆ
α)(s j )
2 = 1 et (N ˆ
α)
2 (s j ) = 1 sont équivalentes et de nouveau, α res contribue
de la même façon au numérateur et au dénominateur de Δ j ,j,II [d]. Donc α res ne
contribue pas au quotient. Supposons enfin (N α)(ν) = −1. Le même raisonnement
que ci-dessus montre que les deux contributions non triviales possibles sont toutes
deux égales à χ αres ((N α)(x S [d]ν) + 1). Ce terme intervient au numérateur si et
seulement si (N ˆ
α)(s j ) = 1 et au dénominateur si et seulement si (N ˆ
α)(s j ) = 1.
La condition (N α)(ν) = −1 signifie que 2α res est une racine de ¯
G et N ˆ
α est une
racine de ˆ ¯
G. On a de nouveau (N ˆ
α)(s j ) = (N ˆ
α)(s j ) = (N ˆ
α)(¯ s). Les conditions
(N ˆ
α)(s j ) = 1 et (N ˆ
α)(s j ) = 1 sont équivalentes et, comme précédemment, α res
ne contribue pas à Δ j ,j,II [d]. Cela prouve (4).
La limite du quotient (1) est donc la même que celle du quotient
(6)
Δ j ,imp (y j ,1 j ,1 , x[d]η[d])Δ j ,imp (y j j,1 , x[d]η[d])
−1 .
On utilise les définitions de [VI] 3.6. On y remplace les T par des S et on
ajoute des indices j ou j
. Le dénominateur de (6) est l’inverse d’un produit
h, ˆ
h
dans
H
1,0 (A F /F ; S sc
1−θ
→ S j,1 ) × H
1,0 (W F ; ˆ
S j,1
1− ˆ
θ
→ ˆ
S ad ).
L’élément h ∈ H
1,0 (A F /F ; S sc
1−θ
→ S j,1 ) intervenant est un couple formé d’un
cocycle V S à valeurs dans S sc (A E )/S sc (E) et d’un élément de S j,1 (A E )/S j,1 (E).
Rappelons la définition de V S . Avec les notations de 6.7, on a
V S (σ) = xσ G ∗ (x)
−1 u E ∗ (σ)σ(g)g
−1
pour tout σ ∈ Γ F . Comme on le voit, ce terme ne dépend pas de j. On note
e j ∈ Z( ˜
G
j ; E) l’image naturelle de e et on relève cet élément en un élément e j,1 ∈
Z( ˜
G
j,1 ; E). On écrit j,1 = μ j,1 e j,1 . L’élément de S j,1 (A E )/S j,1 (E) intervenant est
l’image du couple (x S [d]tν, y j,1 μ j,1 ) ∈ S(A E ) × S j,1 (A E ) dans S j,1 (A E )/S j,1 (E).
Un calcul déjà fait de nombreuses fois montre que la contribution de (x S [d], y j,1 )
est la valeur en ce point d’un caractère automorphe de S j,1 (A F ). On peut fixer
861
qui se relève en une racine α ∈ Σ(S) de type 2. Une telle racine contribue au
numérateur comme au dénominateur de Δ j ,j,II [d] soit par 1, soit par
χ αres
(N α)(x S [d]ν)
2
− 1
a αres
,
soit par χ αres ((N α)(x S [d]ν) + 1). Si (N α)(ν) = ±1, le même raisonnement que cidessus montre que α res ne contribue pas à lim Δ j ,j,II [d]. Supposons (N α)(ν) = 1.
Le même raisonnement montre que la troisième contribution possible est triviale
et que l’on peut remplacer la seconde par χ αres ((N α)(x S [d]ν) − 1). La condition
(N α)(ν) = 1 signifie que α res est une racine de ¯
G et 2N ˆ
α est une racine de
ˆ ¯
G. On a alors les égalités (N ˆ
α)(s j )
2 = (N ˆ
α)(s j )
2 = (N ˆ
α)(¯ s)
2 . Les conditions
(N ˆ
α)(s j )
2 = 1 et (N ˆ
α)
2 (s j ) = 1 sont équivalentes et de nouveau, α res contribue
de la même façon au numérateur et au dénominateur de Δ j ,j,II [d]. Donc α res ne
contribue pas au quotient. Supposons enfin (N α)(ν) = −1. Le même raisonnement
que ci-dessus montre que les deux contributions non triviales possibles sont toutes
deux égales à χ αres ((N α)(x S [d]ν) + 1). Ce terme intervient au numérateur si et
seulement si (N ˆ
α)(s j ) = 1 et au dénominateur si et seulement si (N ˆ
α)(s j ) = 1.
La condition (N α)(ν) = −1 signifie que 2α res est une racine de ¯
G et N ˆ
α est une
racine de ˆ ¯
G. On a de nouveau (N ˆ
α)(s j ) = (N ˆ
α)(s j ) = (N ˆ
α)(¯ s). Les conditions
(N ˆ
α)(s j ) = 1 et (N ˆ
α)(s j ) = 1 sont équivalentes et, comme précédemment, α res
ne contribue pas à Δ j ,j,II [d]. Cela prouve (4).
La limite du quotient (1) est donc la même que celle du quotient
(6)
Δ j ,imp (y j ,1 j ,1 , x[d]η[d])Δ j ,imp (y j j,1 , x[d]η[d])
−1 .
On utilise les définitions de [VI] 3.6. On y remplace les T par des S et on
ajoute des indices j ou j
. Le dénominateur de (6) est l’inverse d’un produit
h, ˆ
h
dans
H
1,0 (A F /F ; S sc
1−θ
→ S j,1 ) × H
1,0 (W F ; ˆ
S j,1
1− ˆ
θ
→ ˆ
S ad ).
L’élément h ∈ H
1,0 (A F /F ; S sc
1−θ
→ S j,1 ) intervenant est un couple formé d’un
cocycle V S à valeurs dans S sc (A E )/S sc (E) et d’un élément de S j,1 (A E )/S j,1 (E).
Rappelons la définition de V S . Avec les notations de 6.7, on a
V S (σ) = xσ G ∗ (x)
−1 u E ∗ (σ)σ(g)g
−1
pour tout σ ∈ Γ F . Comme on le voit, ce terme ne dépend pas de j. On note
e j ∈ Z( ˜
G
j ; E) l’image naturelle de e et on relève cet élément en un élément e j,1 ∈
Z( ˜
G
j,1 ; E). On écrit j,1 = μ j,1 e j,1 . L’élément de S j,1 (A E )/S j,1 (E) intervenant est
l’image du couple (x S [d]tν, y j,1 μ j,1 ) ∈ S(A E ) × S j,1 (A E ) dans S j,1 (A E )/S j,1 (E).
Un calcul déjà fait de nombreuses fois montre que la contribution de (x S [d], y j,1 )
est la valeur en ce point d’un caractère automorphe de S j,1 (A F ). On peut fixer