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Chapitre VII. Descente globale
Montrons que
(4) quitte à remplacer en un nombre fini de places hors de V les termes x[d v ],
y j,1,v et y j ,1,v par d’autres termes assez proches des éléments neutres, on a
lim Δ j ,j,II [d] = 1.
On note Σ(S) res l’ensemble des restrictions à S
θ
∗ ,0 = T
∗,θ
∗ ,0 des racines de
S dans G et Σ(S) res,ind le sous-ensemble des éléments indivisibles. Les termes
intervenant dans Δ j ,j,II [d] sont produits de termes indexés par les orbites de Γ F
dans l’ensemble Σ(S) res,ind .
Considérons une orbite galoisienne d’un élément α res ∈ Σ(S) res,ind qui se
relève en une racine α ∈ Σ(S) de type 1. Une telle racine contribue au numérateur
comme au dénominateur de Δ j ,j,II [d] soit par 1, soit par
(5)
χ αres
(N α)(x S [d]ν) − 1
a αres
(le terme t disparaît quand on applique N α). Si (N α)(ν) = 1, on peut fixer un
ensemble V
de places contenant V et assez grand pour que, pour v ∈ V
, on ait
χ αres,v
(N α)(x S [d v ]ν) − 1
a αres
= χ αres,v
(N α)(ν) − 1
a αres
= 1.
Pour v ∈ V
− V , quitte à remplacer nos données x[d v ] etc. . . par des termes assez
proches des éléments neutres, on peut supposer que l’on a
χ αres,v
(N α)(x S [d v ]ν) − 1
a αres
= χ αres,v
(N α)(ν) − 1
a αres
.
Pour v ∈ V , on a en tout cas
lim χ αres,v
(N α)(x S [d v ]ν) − 1
a αres
= χ αres,v
(N α)(ν) − 1
a αres
.
Ainsi, la limite de l’expression (5) est χ αres (
(Nα)(ν)−1
aα res
), qui vaut 1 puisque les
éléments qui interviennent appartiennent à F α et que le caractère χ αres est automorphe. Donc la racine α res ne contribue pas à lim Δ j ,j,II [d] si (N α)(ν) = 1.
Supposons (N α)(ν) = 1. Dans ce cas, α res est une racine de ¯
G. Mais alors, par
construction, on a les égalités (N ˆ
α)(s j ) = (N ˆ
α)(s j ) = (N ˆ
α)(¯ s). Les conditions
(N ˆ
α)(s j ) = 1 et (N ˆ
α)(s j ) = 1 sont équivalentes. Donc α res contribue au numérateur de Δ j ,j,II [d] si et seulement si elle contribue au dénominateur. Quand elles
contribuent, leur contributions sont toutes deux égales. Donc α res ne contribue pas
au quotient.
Considérons maintenant une orbite galoisienne d’un élément
α res ∈ Σ(S) res,ind
Chapitre VII. Descente globale
Montrons que
(4) quitte à remplacer en un nombre fini de places hors de V les termes x[d v ],
y j,1,v et y j ,1,v par d’autres termes assez proches des éléments neutres, on a
lim Δ j ,j,II [d] = 1.
On note Σ(S) res l’ensemble des restrictions à S
θ
∗ ,0 = T
∗,θ
∗ ,0 des racines de
S dans G et Σ(S) res,ind le sous-ensemble des éléments indivisibles. Les termes
intervenant dans Δ j ,j,II [d] sont produits de termes indexés par les orbites de Γ F
dans l’ensemble Σ(S) res,ind .
Considérons une orbite galoisienne d’un élément α res ∈ Σ(S) res,ind qui se
relève en une racine α ∈ Σ(S) de type 1. Une telle racine contribue au numérateur
comme au dénominateur de Δ j ,j,II [d] soit par 1, soit par
(5)
χ αres
(N α)(x S [d]ν) − 1
a αres
(le terme t disparaît quand on applique N α). Si (N α)(ν) = 1, on peut fixer un
ensemble V
de places contenant V et assez grand pour que, pour v ∈ V
, on ait
χ αres,v
(N α)(x S [d v ]ν) − 1
a αres
= χ αres,v
(N α)(ν) − 1
a αres
= 1.
Pour v ∈ V
− V , quitte à remplacer nos données x[d v ] etc. . . par des termes assez
proches des éléments neutres, on peut supposer que l’on a
χ αres,v
(N α)(x S [d v ]ν) − 1
a αres
= χ αres,v
(N α)(ν) − 1
a αres
.
Pour v ∈ V , on a en tout cas
lim χ αres,v
(N α)(x S [d v ]ν) − 1
a αres
= χ αres,v
(N α)(ν) − 1
a αres
.
Ainsi, la limite de l’expression (5) est χ αres (
(Nα)(ν)−1
aα res
), qui vaut 1 puisque les
éléments qui interviennent appartiennent à F α et que le caractère χ αres est automorphe. Donc la racine α res ne contribue pas à lim Δ j ,j,II [d] si (N α)(ν) = 1.
Supposons (N α)(ν) = 1. Dans ce cas, α res est une racine de ¯
G. Mais alors, par
construction, on a les égalités (N ˆ
α)(s j ) = (N ˆ
α)(s j ) = (N ˆ
α)(¯ s). Les conditions
(N ˆ
α)(s j ) = 1 et (N ˆ
α)(s j ) = 1 sont équivalentes. Donc α res contribue au numérateur de Δ j ,j,II [d] si et seulement si elle contribue au dénominateur. Quand elles
contribuent, leur contributions sont toutes deux égales. Donc α res ne contribue pas
au quotient.
Considérons maintenant une orbite galoisienne d’un élément
α res ∈ Σ(S) res,ind