VII.6. Calculs de facteurs de transfert
859
˜
K v pour presque tout v. Cela entraîne aussi que y j,v ∈ ˜
K
j,v et y j ,v ∈ ˜
K
j ,v pour
presque tout v. Enfin, on impose que x[d v ]η[d v ] vérifie la condition [VI] 3.6(2) pour
presque tout v. C’est loisible car, d’après la même preuve que celle de [VI] 3.6(15),
on peut choisir pour presque tout v un élément x[d v ] ∈ S[d v ]
θ,0 (o v ) tel que cette
condition soit vérifiée. On relève y j,v et y j ,v en des éléments y j,1,v et y j ,1,v . On
suppose comme il est loisible que y j,1,v ∈ ˜
K
j,1,v et y j ,1,v ∈ ˜
K
j ,1,v pour presque
tout v.
On supprime les indices v pour noter les produits sur toutes les places de
F . Par exemple x[d] =
v∈Val(F ) x[d v ]. On remplace ces indices v par V pour
noter les produits sur v ∈ V , par exemple x[d] V =
v∈V x[d v ]. Par définition
δ j [d V ]δ j [d V ]
−1 est la limite quand les termes Y j,1,V et Y j ,1,V tendent vers 0 de
Δ j ,1,V (y j ,1 j ,1 , x[d V ]η[d V ])Δ j,1,V (y j,1 j,1 , x[d V ]η[d V ])
−1 .
Par définition, ce rapport est le produit du quotient des facteurs globaux de [VI] 3.6
(1)
Δ j ,1 (y j ,1 j ,1 , x[d]η[d])Δ j,1 (y j j,1 , x[d]η[d])
−1
et du produit pour toute place v ∈ V des quotients des facteurs normalisés
(2)
Δ j ,1,v (y j ,1 j ,1 , x[d v ]η[d v ])
−1 Δ j,1,v (y j,1 j,1 , x[d v ]η[d v ]).
On a
(3) quitte à remplacer en un nombre fini de places hors de V les termes x[d v ],
y j,1,v et y j ,1,v par d’autres termes assez proches des éléments neutres, le
quotient (2) vaut 1 pour tout v ∈ V .
Comme on l’a vu en [VI] 3.6, les deux termes de ce rapport valent 1 en
presque toute place, disons pour v ∈ V
, où V
est un ensemble fini de places
contenant V . Pour v ∈ V
− V , remplaçons les termes x[d v ], y j,1,v et y j ,1,v par
d’autres termes assez proches des éléments neutres. Le théorème 5.7(i) dit que le
rapport est alors égal à δ j [d v ]δ j [d v ]
−1 , ces termes étant définis comme dans ce
paragraphe. Le (iii) du même théorème dit que ce rapport vaut 1. D’où (3).
On doit calculer le quotient (1), ou plus exactement sa limite quand les
composantes y j,1,v et y j ,1,v tendent vers 1 pour tout v ∈ V (dans la suite, on
dira simplement «sa limite»). Comme ci-dessus, on peut s’autoriser à remplacer
en un nombre fini de places hors de V les termes x[d v ], y j,1,v et y j ,1,v par d’autres
termes assez proches des éléments neutres. On se reporte à la définition de [VI]
3.6. L’automorphisme ad g envoie S[d](A E ) sur S(A E ) de façon équivariante pour
l’action de Gal(E/F ). En particulier, il envoie x[d] sur un élément de S(A F ).
que l’on note x S [d] =
v∈Val(F ) x S [d v ]. D’autre part, on a ad g (η[d]) = tη. D’où
ad g (x[d]η[d]) = x S [d]tη.
Posons
Δ j ,j,II [d] = Δ j ,II (y j j , x[d]η[d])Δ j,II (y j j , x[d]η[d])
−1 .
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˜
K v pour presque tout v. Cela entraîne aussi que y j,v ∈ ˜
K
j,v et y j ,v ∈ ˜
K
j ,v pour
presque tout v. Enfin, on impose que x[d v ]η[d v ] vérifie la condition [VI] 3.6(2) pour
presque tout v. C’est loisible car, d’après la même preuve que celle de [VI] 3.6(15),
on peut choisir pour presque tout v un élément x[d v ] ∈ S[d v ]
θ,0 (o v ) tel que cette
condition soit vérifiée. On relève y j,v et y j ,v en des éléments y j,1,v et y j ,1,v . On
suppose comme il est loisible que y j,1,v ∈ ˜
K
j,1,v et y j ,1,v ∈ ˜
K
j ,1,v pour presque
tout v.
On supprime les indices v pour noter les produits sur toutes les places de
F . Par exemple x[d] =
v∈Val(F ) x[d v ]. On remplace ces indices v par V pour
noter les produits sur v ∈ V , par exemple x[d] V =
v∈V x[d v ]. Par définition
δ j [d V ]δ j [d V ]
−1 est la limite quand les termes Y j,1,V et Y j ,1,V tendent vers 0 de
Δ j ,1,V (y j ,1 j ,1 , x[d V ]η[d V ])Δ j,1,V (y j,1 j,1 , x[d V ]η[d V ])
−1 .
Par définition, ce rapport est le produit du quotient des facteurs globaux de [VI] 3.6
(1)
Δ j ,1 (y j ,1 j ,1 , x[d]η[d])Δ j,1 (y j j,1 , x[d]η[d])
−1
et du produit pour toute place v ∈ V des quotients des facteurs normalisés
(2)
Δ j ,1,v (y j ,1 j ,1 , x[d v ]η[d v ])
−1 Δ j,1,v (y j,1 j,1 , x[d v ]η[d v ]).
On a
(3) quitte à remplacer en un nombre fini de places hors de V les termes x[d v ],
y j,1,v et y j ,1,v par d’autres termes assez proches des éléments neutres, le
quotient (2) vaut 1 pour tout v ∈ V .
Comme on l’a vu en [VI] 3.6, les deux termes de ce rapport valent 1 en
presque toute place, disons pour v ∈ V
, où V
est un ensemble fini de places
contenant V . Pour v ∈ V
− V , remplaçons les termes x[d v ], y j,1,v et y j ,1,v par
d’autres termes assez proches des éléments neutres. Le théorème 5.7(i) dit que le
rapport est alors égal à δ j [d v ]δ j [d v ]
−1 , ces termes étant définis comme dans ce
paragraphe. Le (iii) du même théorème dit que ce rapport vaut 1. D’où (3).
On doit calculer le quotient (1), ou plus exactement sa limite quand les
composantes y j,1,v et y j ,1,v tendent vers 1 pour tout v ∈ V (dans la suite, on
dira simplement «sa limite»). Comme ci-dessus, on peut s’autoriser à remplacer
en un nombre fini de places hors de V les termes x[d v ], y j,1,v et y j ,1,v par d’autres
termes assez proches des éléments neutres. On se reporte à la définition de [VI]
3.6. L’automorphisme ad g envoie S[d](A E ) sur S(A E ) de façon équivariante pour
l’action de Gal(E/F ). En particulier, il envoie x[d] sur un élément de S(A F ).
que l’on note x S [d] =
v∈Val(F ) x S [d v ]. D’autre part, on a ad g (η[d]) = tη. D’où
ad g (x[d]η[d]) = x S [d]tη.
Posons
Δ j ,j,II [d] = Δ j ,II (y j j , x[d]η[d])Δ j,II (y j j , x[d]η[d])
−1 .