858
Chapitre VII. Descente globale
On dispose des paires de Borel (B j , S j ) de G
j et (B j , S j ) de G
j dont les
groupes de Borel sont définis sur ¯
F et les tores sont définis sur F . Par construction,
on a des isomorphismes
X ∗,Q (S j ) X ∗,Q (S ¯
H ) ⊕ X ∗,Q (Z( ¯
G)
0 ) X ∗,Q (S j )
qui sont équivariants pour les actions galoisiennes. En fait, l’isomorphisme composé provient d’un isomorphisme S j S j sur ¯
F , qui est le composé de S j
T
∗ /(1 − θ
∗ )(T
∗ ) S j . Puisque l’isomorphisme X ∗,Q (S j ) X ∗,Q (S j ) qui s’en déduit fonctoriellement est équivariant pour les actions galoisiennes, l’isomorphisme
S j S j est lui-même défini sur F .
On complète la donnée d V en fixant un élément d
V = (d v ) v ∈V ∈ D
nr
A V
F
et
en posant d = d V × d
V = (d v ) v∈Val(F ) . On applique à cet élément la proposition
6.7. On en déduit des paires de Borel (B[d v ], S[d v ]) pour toute place v ∈ Val(F )
et des éléments g ∈ G SC (A E ) et t ∈ ((1 − θ
∗ )(T
∗ ))(A E ). Pour toute place v, les
sextuplets
( j , B j , S j , B[d v ], S[d v ], η[d v ])
et
( j , B j , S j , B[d v ], S[d v ], η[d v ])
sont des diagrammes.
Pour v ∈ V , on fixe des éléments ¯
Y sc,v ∈ s ¯
H (F v ), Z 1 ∈ z( ¯
G; F v ) et Z 2 ∈
z( ¯
H; F v ). On les suppose en position générale et proches de 0. On construit comme
en 5.7 un élément X[d v ] ∈ g η[dv] (F v ) dont on peut supposer qu’il appartient à
s[d v ]
θ (F v ). On construit les éléments Y j,v et Y j ,v comme en 5.7. On peut supposer que Y j,v appartient à s j (F v ), plus précisément que Y j,v est l’image de X[d v ]
par l’homomorphisme s[d v ](F v ) → s j (F v ) provenant du premier diagramme cidessus. On peut supposer que Y j ,v vérifie des propriétés analogues. Alors Y j,v et
Y j ,v se correspondent via l’isomorphisme ci-dessus entre S j et S j . On en fixe
des relèvements Y j,1,v ∈ g
j,1,,j,1 (F v ) de Y j,v et Y j ,1,v ∈ g
j ,1,, j ,1
(F v ) de Y j ,v ,
que l’on suppose proches de 0. On pose x[d v ] = exp(X[d v ]), y j,v = exp(Y j,v ),
y j ,v = exp(Y j ,v ), y j,1,v = exp(Y j,1,v ), y j ,1,v = exp(Y j ,1,v ). Les sextuplets
(y j,v j , B j , S j , B[d v ], S[d v ], x[d v ]η[d v ])
et
(y j ,v j , B j , S j , B[d v ], S[d v ], x[d v ]η[d v ])
sont des diagrammes.
Pour v ∈ V , on fixe des éléments x[d v ] ∈ S[d v ]
θ,0 (F v ), y j,v ∈ S j (F v ) et y j ,v ∈
S j (F v ) de sorte que les sextuplets ci-dessus soient encore des diagrammes. On impose que x[d v ]η[d v ] est fortement régulier. Pour presque tout v, S[d v ] est non ramifié et possède une structure naturelle sur o v . On impose x[d v ] ∈ S[d v ]
θ,0 (o v ) pour
presque tout v. D’après le (i) de la proposition 6.7, cela entraîne que x[d v ]η[d v ] ∈
Chapitre VII. Descente globale
On dispose des paires de Borel (B j , S j ) de G
j et (B j , S j ) de G
j dont les
groupes de Borel sont définis sur ¯
F et les tores sont définis sur F . Par construction,
on a des isomorphismes
X ∗,Q (S j ) X ∗,Q (S ¯
H ) ⊕ X ∗,Q (Z( ¯
G)
0 ) X ∗,Q (S j )
qui sont équivariants pour les actions galoisiennes. En fait, l’isomorphisme composé provient d’un isomorphisme S j S j sur ¯
F , qui est le composé de S j
T
∗ /(1 − θ
∗ )(T
∗ ) S j . Puisque l’isomorphisme X ∗,Q (S j ) X ∗,Q (S j ) qui s’en déduit fonctoriellement est équivariant pour les actions galoisiennes, l’isomorphisme
S j S j est lui-même défini sur F .
On complète la donnée d V en fixant un élément d
V = (d v ) v ∈V ∈ D
nr
A V
F
et
en posant d = d V × d
V = (d v ) v∈Val(F ) . On applique à cet élément la proposition
6.7. On en déduit des paires de Borel (B[d v ], S[d v ]) pour toute place v ∈ Val(F )
et des éléments g ∈ G SC (A E ) et t ∈ ((1 − θ
∗ )(T
∗ ))(A E ). Pour toute place v, les
sextuplets
( j , B j , S j , B[d v ], S[d v ], η[d v ])
et
( j , B j , S j , B[d v ], S[d v ], η[d v ])
sont des diagrammes.
Pour v ∈ V , on fixe des éléments ¯
Y sc,v ∈ s ¯
H (F v ), Z 1 ∈ z( ¯
G; F v ) et Z 2 ∈
z( ¯
H; F v ). On les suppose en position générale et proches de 0. On construit comme
en 5.7 un élément X[d v ] ∈ g η[dv] (F v ) dont on peut supposer qu’il appartient à
s[d v ]
θ (F v ). On construit les éléments Y j,v et Y j ,v comme en 5.7. On peut supposer que Y j,v appartient à s j (F v ), plus précisément que Y j,v est l’image de X[d v ]
par l’homomorphisme s[d v ](F v ) → s j (F v ) provenant du premier diagramme cidessus. On peut supposer que Y j ,v vérifie des propriétés analogues. Alors Y j,v et
Y j ,v se correspondent via l’isomorphisme ci-dessus entre S j et S j . On en fixe
des relèvements Y j,1,v ∈ g
j,1,,j,1 (F v ) de Y j,v et Y j ,1,v ∈ g
j ,1,, j ,1
(F v ) de Y j ,v ,
que l’on suppose proches de 0. On pose x[d v ] = exp(X[d v ]), y j,v = exp(Y j,v ),
y j ,v = exp(Y j ,v ), y j,1,v = exp(Y j,1,v ), y j ,1,v = exp(Y j ,1,v ). Les sextuplets
(y j,v j , B j , S j , B[d v ], S[d v ], x[d v ]η[d v ])
et
(y j ,v j , B j , S j , B[d v ], S[d v ], x[d v ]η[d v ])
sont des diagrammes.
Pour v ∈ V , on fixe des éléments x[d v ] ∈ S[d v ]
θ,0 (F v ), y j,v ∈ S j (F v ) et y j ,v ∈
S j (F v ) de sorte que les sextuplets ci-dessus soient encore des diagrammes. On impose que x[d v ]η[d v ] est fortement régulier. Pour presque tout v, S[d v ] est non ramifié et possède une structure naturelle sur o v . On impose x[d v ] ∈ S[d v ]
θ,0 (o v ) pour
presque tout v. D’après le (i) de la proposition 6.7, cela entraîne que x[d v ]η[d v ] ∈