VII.6. Calculs de facteurs de transfert
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simplement connexe du groupe dérivé de G η[d] , ou encore le revêtement simplement
connexe du groupe dérivé de G SC,η[d] .
On a ux ∗ () = (us)s
−1
0 ∈ K sc,w . Donc ux ∗ () appartient au groupe
G SC,η[d] (E w ) ∩ K sc,w ,
qui est un sous-groupe compact hyperspécial de G SC,η[d] (E w ). D’après 1.5(2), il
existe
s 1 ∈ S[d v ] sc (o w )
tel que ux ∗ () et s 1 aient même image dans G SC,η[d],ab (E w ).
Puisque u ∈ G η[d],SC (E w ), son image dans G SC,η[d],ab (E w ) est l’identité.
Cela entraîne que l’image de x ∗ ()s
−1
1
est aussi l’identité. Donc x ∗ ()s
−1
1
est
l’image d’un élément s 2 ∈ G η[d],SC (E w ). En notant ¯
S[d v ] sc l’image réciproque
de S[d v ] dans G η[d],SC , l’élément s 2 appartient forcément à ¯
S[d v ] sc (E w ). Comme
plus haut, on peut écrire s 2 = ¯
s 0 ¯
x ∗ () avec ¯
s 0 ∈ ¯
S[d v ] sc (o w ) et ¯
x ∗ ∈ X ∗ ( ¯
S[d v ] sc ).
L’unicité de ces décompositions entraîne que x ∗ = ¯
x ∗ . Cela entraîne que x ∗ () appartient à ¯
S[d v ] sc (E w ) donc aussi à G η[d],SC (E w ) (plus exactement, c’est l’image
dans G SC (E w ) d’un élément de ce groupe). Posons u = ux ∗ (). Alors u appartient à G η[d],SC (E w ) et son image dans G SC (E w ) appartient à K sc,w . Donc
u ∈ K sc,w [d]. On a g w = r[d] sc us 0 ∈ r[d] sc K sc,w [d]S[d v ] sc (o w ). Comme plus
haut, cela implique par conjugaison que g w ∈ T
∗
sc (o w )r[d] sc K sc,w [d]. Cette relation est vérifiée pour tout v ∈ V
et tout w
divisant v. Jointe à (2), elle entraîne
le lemme.
VII.6.9 Un résultat d’annulation
Soit d V = (d v ) v∈V ∈ D
rel
V . On note D F [d V ] l’ensemble des d ∈ D F tels que
– la projection de d dans D A V
F
appartient à D
nr
A V
F
;
– la projection de d dans D V appartient à I η d V G(F V ).
Pour j ∈ J (H), on a défini la constante δ j [d V ] en 5.9.
Proposition. Soit d V ∈ D
rel
V . Si D F [d V ] = ∅, alors
j∈J (H)
δ j [d V ] = 0.
Preuve. Ce résultat est trivial si J (H) est vide. On suppose cet ensemble non vide.
Alors l’application p de 6.4 l’identifie à P (H), qui est une unique classe modulo
le sous-groupe P
0
⊂ P de 6.6. Fixons p ∈ P (H). Soit p
0
∈ P
0 . Posons j = p
−1 (p)
et j
= p
−1 (p
0 p). On va calculer le rapport δ j [d V ]δ j [d V ]
−1 .
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simplement connexe du groupe dérivé de G η[d] , ou encore le revêtement simplement
connexe du groupe dérivé de G SC,η[d] .
On a ux ∗ () = (us)s
−1
0 ∈ K sc,w . Donc ux ∗ () appartient au groupe
G SC,η[d] (E w ) ∩ K sc,w ,
qui est un sous-groupe compact hyperspécial de G SC,η[d] (E w ). D’après 1.5(2), il
existe
s 1 ∈ S[d v ] sc (o w )
tel que ux ∗ () et s 1 aient même image dans G SC,η[d],ab (E w ).
Puisque u ∈ G η[d],SC (E w ), son image dans G SC,η[d],ab (E w ) est l’identité.
Cela entraîne que l’image de x ∗ ()s
−1
1
est aussi l’identité. Donc x ∗ ()s
−1
1
est
l’image d’un élément s 2 ∈ G η[d],SC (E w ). En notant ¯
S[d v ] sc l’image réciproque
de S[d v ] dans G η[d],SC , l’élément s 2 appartient forcément à ¯
S[d v ] sc (E w ). Comme
plus haut, on peut écrire s 2 = ¯
s 0 ¯
x ∗ () avec ¯
s 0 ∈ ¯
S[d v ] sc (o w ) et ¯
x ∗ ∈ X ∗ ( ¯
S[d v ] sc ).
L’unicité de ces décompositions entraîne que x ∗ = ¯
x ∗ . Cela entraîne que x ∗ () appartient à ¯
S[d v ] sc (E w ) donc aussi à G η[d],SC (E w ) (plus exactement, c’est l’image
dans G SC (E w ) d’un élément de ce groupe). Posons u = ux ∗ (). Alors u appartient à G η[d],SC (E w ) et son image dans G SC (E w ) appartient à K sc,w . Donc
u ∈ K sc,w [d]. On a g w = r[d] sc us 0 ∈ r[d] sc K sc,w [d]S[d v ] sc (o w ). Comme plus
haut, cela implique par conjugaison que g w ∈ T
∗
sc (o w )r[d] sc K sc,w [d]. Cette relation est vérifiée pour tout v ∈ V
et tout w
divisant v. Jointe à (2), elle entraîne
le lemme.
VII.6.9 Un résultat d’annulation
Soit d V = (d v ) v∈V ∈ D
rel
V . On note D F [d V ] l’ensemble des d ∈ D F tels que
– la projection de d dans D A V
F
appartient à D
nr
A V
F
;
– la projection de d dans D V appartient à I η d V G(F V ).
Pour j ∈ J (H), on a défini la constante δ j [d V ] en 5.9.
Proposition. Soit d V ∈ D
rel
V . Si D F [d V ] = ∅, alors
j∈J (H)
δ j [d V ] = 0.
Preuve. Ce résultat est trivial si J (H) est vide. On suppose cet ensemble non vide.
Alors l’application p de 6.4 l’identifie à P (H), qui est une unique classe modulo
le sous-groupe P
0
⊂ P de 6.6. Fixons p ∈ P (H). Soit p
0
∈ P
0 . Posons j = p
−1 (p)
et j
= p
−1 (p
0 p). On va calculer le rapport δ j [d V ]δ j [d V ]
−1 .