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Chapitre VII. Descente globale
diffèrent par multiplication à gauche par un élément de T
∗
sc (E w ). Cela prouve (2)
pour la place w.
Considérons maintenant une autre place w
au-dessus de v. Rappelons que
g w = xτ G ∗ (x)
−1 u E ∗ (τ )τ (g w ). Ecrivons g w = t w r[d] sc u w , avec t w ∈ T
∗
sc (E w )
et u w ∈ G η[d],SC (E w ). Posons t 0,w = ad xτ G ∗ (x) −1 u E ∗ (τ ) ◦τ (t w ). Comme dans la
preuve de 6.7(7), on a t 0,w = τ S (t w ) ∈ T
∗
sc (E w ). On a aussi τ (u w ) ∈ G η[d],SC (E w ).
Puisque
g w = t 0,w xτ G ∗ (x)
−1 u E ∗ (τ )τ (r[d] sc )τ (u w ),
la relation (2) à prouver équivaut à
xτ G ∗ (x)
−1 u E ∗ (τ )τ (r[d] sc ) ∈ T
∗
sc (E w )r[d] sc G η[d],SC (E w ).
Mais cette relation résulte de (1) et des conditions imposées à E. Cela prouve (2)
en général.
Fixons un ensemble fini V
de places de E vérifiant les conditions du paragraphe précédent ainsi que les conditions suivantes. On impose que, pour tout
v ∈ V
et pour toute place w
de E divisant v, on ait d’abord
– z[d] ∈ K sc,w et r[d] sc ∈ K sc,w .
Il en résulte que η[d] ∈ ˜
K w ∩ ˜
G(F v ) = ˜
K v . On sait qu’alors le groupe
K v [d] = K v ∩ G η[d] (F v ) est un sous-groupe compact hyperspécial de G η[d] (F v ) (cf.
lemme 1.6). Il s’en déduit un tel sous-groupe K sc,v [d] de G η[d],SC (F v ) puis un tel
sous-groupe K sc,w [d] de G η[d],SC (E w ). On impose de plus que
– ¯
x[d] ∈ K sc,w [d] et ¯
u[d](σ) ∈ K sc,w [d] pour tout σ ∈ Γ F .
Toutes ces conditions impliquent que l’on a aussi t(σ) ∈ T
∗
sc (o w ) pour tout
σ ∈ Γ F , où t(σ) est l’élément figurant dans (1).
Soient v ∈ V
et w
une place de E divisant v. Puisque g w conjugue
S[d v ] sc (E w ) en T
∗
sc (E w ) (où S[d v ] sc est l’image réciproque de S[d v ] dans G SC ),
la relation (2) équivaut à g w ∈ r[d] sc G η[d],SC (E w )S[d v ] sc (E w ). Ecrivons g w =
r[d] sc us, avec u ∈ G η[d],SC (E w ) et s ∈ S[d v ] sc (E w ).
Cela entraîne us = r[d]
−1
sc g w ∈ K sc,w . Appliquons l’opérateur θ = ad η[d] .
Puisque η[d] ∈ ˜
K v , θ conserve K sc,w . Donc uθ(s) = θ(us) ∈ K sc,w . D’où (1 −
θ)(s) = (uθ(s))
−1 us ∈ K sc,w . Fixons une uniformisante de F v , qui est aussi
une uniformisante de E w puisque E w /F v est non ramifiée. Puisque S[d v ] sc est
déployé sur E w , l’élément s s’écrit de façon unique s 0 x ∗ () pour un élément s 0 ∈
S[d v ] sc (o w ) et un élément x ∗ ∈ X ∗ (S[d v ] sc ). On a alors (1−θ)(s) = (1−θ)(s 0 )((1−
θ)(x ∗ ))(). Puisque S[d v ] sc (o w ) ⊂ K sc,w d’après le (i) de la proposition 6.7, cela
entraîne ((1 − θ)(x ∗ ))() ∈ K sc,w . Cette condition ne peut être réalisée que si
(1 − θ)(x ∗ ) = 0. Alors x ∗ ∈ X ∗ (S[d v ]
θ,0
sc ) et x ∗ () ∈ S[d v ]
θ,0
sc (E w ). Ce groupe est
contenu dans G SC,η[d] (E w ).
Remarque. Le groupe G SC,η[d] est la composante neutre du commutant de η[d]
dans G SC ; on prend garde de le distinguer du groupe G η[d],SC qui est le revêtement
Chapitre VII. Descente globale
diffèrent par multiplication à gauche par un élément de T
∗
sc (E w ). Cela prouve (2)
pour la place w.
Considérons maintenant une autre place w
au-dessus de v. Rappelons que
g w = xτ G ∗ (x)
−1 u E ∗ (τ )τ (g w ). Ecrivons g w = t w r[d] sc u w , avec t w ∈ T
∗
sc (E w )
et u w ∈ G η[d],SC (E w ). Posons t 0,w = ad xτ G ∗ (x) −1 u E ∗ (τ ) ◦τ (t w ). Comme dans la
preuve de 6.7(7), on a t 0,w = τ S (t w ) ∈ T
∗
sc (E w ). On a aussi τ (u w ) ∈ G η[d],SC (E w ).
Puisque
g w = t 0,w xτ G ∗ (x)
−1 u E ∗ (τ )τ (r[d] sc )τ (u w ),
la relation (2) à prouver équivaut à
xτ G ∗ (x)
−1 u E ∗ (τ )τ (r[d] sc ) ∈ T
∗
sc (E w )r[d] sc G η[d],SC (E w ).
Mais cette relation résulte de (1) et des conditions imposées à E. Cela prouve (2)
en général.
Fixons un ensemble fini V
de places de E vérifiant les conditions du paragraphe précédent ainsi que les conditions suivantes. On impose que, pour tout
v ∈ V
et pour toute place w
de E divisant v, on ait d’abord
– z[d] ∈ K sc,w et r[d] sc ∈ K sc,w .
Il en résulte que η[d] ∈ ˜
K w ∩ ˜
G(F v ) = ˜
K v . On sait qu’alors le groupe
K v [d] = K v ∩ G η[d] (F v ) est un sous-groupe compact hyperspécial de G η[d] (F v ) (cf.
lemme 1.6). Il s’en déduit un tel sous-groupe K sc,v [d] de G η[d],SC (F v ) puis un tel
sous-groupe K sc,w [d] de G η[d],SC (E w ). On impose de plus que
– ¯
x[d] ∈ K sc,w [d] et ¯
u[d](σ) ∈ K sc,w [d] pour tout σ ∈ Γ F .
Toutes ces conditions impliquent que l’on a aussi t(σ) ∈ T
∗
sc (o w ) pour tout
σ ∈ Γ F , où t(σ) est l’élément figurant dans (1).
Soient v ∈ V
et w
une place de E divisant v. Puisque g w conjugue
S[d v ] sc (E w ) en T
∗
sc (E w ) (où S[d v ] sc est l’image réciproque de S[d v ] dans G SC ),
la relation (2) équivaut à g w ∈ r[d] sc G η[d],SC (E w )S[d v ] sc (E w ). Ecrivons g w =
r[d] sc us, avec u ∈ G η[d],SC (E w ) et s ∈ S[d v ] sc (E w ).
Cela entraîne us = r[d]
−1
sc g w ∈ K sc,w . Appliquons l’opérateur θ = ad η[d] .
Puisque η[d] ∈ ˜
K v , θ conserve K sc,w . Donc uθ(s) = θ(us) ∈ K sc,w . D’où (1 −
θ)(s) = (uθ(s))
−1 us ∈ K sc,w . Fixons une uniformisante de F v , qui est aussi
une uniformisante de E w puisque E w /F v est non ramifiée. Puisque S[d v ] sc est
déployé sur E w , l’élément s s’écrit de façon unique s 0 x ∗ () pour un élément s 0 ∈
S[d v ] sc (o w ) et un élément x ∗ ∈ X ∗ (S[d v ] sc ). On a alors (1−θ)(s) = (1−θ)(s 0 )((1−
θ)(x ∗ ))(). Puisque S[d v ] sc (o w ) ⊂ K sc,w d’après le (i) de la proposition 6.7, cela
entraîne ((1 − θ)(x ∗ ))() ∈ K sc,w . Cette condition ne peut être réalisée que si
(1 − θ)(x ∗ ) = 0. Alors x ∗ ∈ X ∗ (S[d v ]
θ,0
sc ) et x ∗ () ∈ S[d v ]
θ,0
sc (E w ). Ce groupe est
contenu dans G SC,η[d] (E w ).
Remarque. Le groupe G SC,η[d] est la composante neutre du commutant de η[d]
dans G SC ; on prend garde de le distinguer du groupe G η[d],SC qui est le revêtement