VII.6. Calculs de facteurs de transfert
855
Γ F , fixons ¯
u[d](σ) ∈ G η[d],SC ( ¯
F ) tel que ad ¯
u[d](σ) ◦σ conserve ¯
E[d]. On note σ →
σ G ∗
η[d]
= ad ¯
u[d](σ) ◦σ l’action quasi-déployée qui conserve ¯
E[d]. On suppose que σ →
¯
u[d](σ) est continue et que ¯
u[d](1) = 1. La deuxième condition ci-dessus signifie
que ad r[d] , qui envoie T
∗ [d] sur T
∗ , entrelace l’action σ → σ G ∗
η[d]
sur T
∗ [d] avec
l’action σ → ω ¯
G (σ) ◦ σ G ∗ sur T
∗ . Transportons par ad r[d] −1 le cocycle ω S, ¯
G en un
cocycle à valeurs dans le groupe de Weyl de G η[d] relatif à ¯
T [d] (pour l’action quasidéployée). D’après [44] corollaire 2.2, on peut fixer ¯
x[d] ∈ G η[d],SC ( ¯
F ) tel que, pour
tout σ ∈ Γ F , ¯
x[d]σ G ∗
η[d]
(¯ x[d])
−1 normalise ¯
T [d] et que son image dans le groupe
de Weyl soit ω S, ¯
G (σ). Alors ad r[d] entrelace l’action σ → ad ¯
x[d]σ G ∗
η[d]
(¯ x[d]) −1 ◦σ G ∗
η[d]
sur T
∗ [d] avec l’action σ → ω S (σ) ◦ σ G ∗ sur T
∗ . Fixons une décomposition r[d] =
z[d]r[d] sc avec z ∈ Z(G; ¯
F ) et r[d] sc ∈ G SC ( ¯
F ). Il est facile de traduire la condition
précédente par la propriété
(1) pour tout σ ∈ Γ F , il existe t(σ) ∈ T
∗
sc ( ¯
F ) tel que
xσ G ∗ (x)
−1 u E ∗ (σ)σ(r[d] sc ) = t(σ)r[d] sc ¯
x[d]σ G ∗
η[d]
(¯ x[d])
−1 ¯
u[d](σ).
Pour d ∈ D F et v ∈ Val(F ), on note d v le même couple (η[d], r[d]), vu
comme élément de ˜
G(F v )×G( ¯
F v ). L’application d → (d v ) v∈Val(F ) est une injection
D F ⊂ D AF . Soit d ∈ D F . Supposons que l’image de d dans D AF appartienne à
D
rel
V × D
nr
A V
F
. On reprend les constructions du paragraphe précédent. On impose de
plus au corps E les conditions suivantes
– z[d] ∈ Z(G; E), r[d] sc ∈ G SC (E), ¯
x[d] ∈ G η[d],SC (E) et ¯
E est définie sur E ;
– l’application σ → ¯
u[d](σ) se factorise par Gal(E/F ) et prend ses valeurs dans
G η[d],SC (E).
Il en résulte que l’application σ → t(σ) se factorise par Gal(E/F ) et prend
ses valeurs dans T
∗
sc (E). Construisons des paires de Borel et des éléments g et t
vérifiant la proposition 6.7.
Lemme. Sous ces hypothèses, l’élément g appartient à T
∗
sc (A E )r[d] sc G η[d],SC (A E ).
Preuve. Soient v une place de F et w
une place de E au-dessus de v. Montrons
que
(2)
g w ∈ T
∗
sc (E w )r[d] sc G η[d],SC (E w ).
Supposons d’abord que w
= w soit la restriction de ¯
v à E. Par construction, il
existe u 1 ∈ G η[d] ( ¯
F ¯
v ) de sorte que ad u1 (B[d v ], S[d v ]) = (B
∗ [d], T
∗ [d]). Les deux
couples (B[d v ]∩G η[d] , S[d v ]∩G η[d] ) et (B
∗ [d]∩G η[d] , T
∗ [d]∩G η[d] ) sont des paires de
Borel de G η[d] qui sont définies sur E w . Il existe donc u ∈ G η[d],SC (E w ) telle que la
seconde soit l’image de la première par ad u . Puisque u 1 vérifie la même propriété,
on a u 1 ∈ (T
∗ [d] ∩ G η[d] )u. Alors on a aussi ad u (B[d v ], S[d v ]) = (B
∗ [d], T
∗ [d]).
Donc ad r[d]scu (B[d v ], S[d v ]) = (B
∗ , T
∗ ). Puisque g w vérifie la même propriété et
que les deux éléments r[d] sc u et g w appartiennent à G SC (E w ), ces deux éléments
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Γ F , fixons ¯
u[d](σ) ∈ G η[d],SC ( ¯
F ) tel que ad ¯
u[d](σ) ◦σ conserve ¯
E[d]. On note σ →
σ G ∗
η[d]
= ad ¯
u[d](σ) ◦σ l’action quasi-déployée qui conserve ¯
E[d]. On suppose que σ →
¯
u[d](σ) est continue et que ¯
u[d](1) = 1. La deuxième condition ci-dessus signifie
que ad r[d] , qui envoie T
∗ [d] sur T
∗ , entrelace l’action σ → σ G ∗
η[d]
sur T
∗ [d] avec
l’action σ → ω ¯
G (σ) ◦ σ G ∗ sur T
∗ . Transportons par ad r[d] −1 le cocycle ω S, ¯
G en un
cocycle à valeurs dans le groupe de Weyl de G η[d] relatif à ¯
T [d] (pour l’action quasidéployée). D’après [44] corollaire 2.2, on peut fixer ¯
x[d] ∈ G η[d],SC ( ¯
F ) tel que, pour
tout σ ∈ Γ F , ¯
x[d]σ G ∗
η[d]
(¯ x[d])
−1 normalise ¯
T [d] et que son image dans le groupe
de Weyl soit ω S, ¯
G (σ). Alors ad r[d] entrelace l’action σ → ad ¯
x[d]σ G ∗
η[d]
(¯ x[d]) −1 ◦σ G ∗
η[d]
sur T
∗ [d] avec l’action σ → ω S (σ) ◦ σ G ∗ sur T
∗ . Fixons une décomposition r[d] =
z[d]r[d] sc avec z ∈ Z(G; ¯
F ) et r[d] sc ∈ G SC ( ¯
F ). Il est facile de traduire la condition
précédente par la propriété
(1) pour tout σ ∈ Γ F , il existe t(σ) ∈ T
∗
sc ( ¯
F ) tel que
xσ G ∗ (x)
−1 u E ∗ (σ)σ(r[d] sc ) = t(σ)r[d] sc ¯
x[d]σ G ∗
η[d]
(¯ x[d])
−1 ¯
u[d](σ).
Pour d ∈ D F et v ∈ Val(F ), on note d v le même couple (η[d], r[d]), vu
comme élément de ˜
G(F v )×G( ¯
F v ). L’application d → (d v ) v∈Val(F ) est une injection
D F ⊂ D AF . Soit d ∈ D F . Supposons que l’image de d dans D AF appartienne à
D
rel
V × D
nr
A V
F
. On reprend les constructions du paragraphe précédent. On impose de
plus au corps E les conditions suivantes
– z[d] ∈ Z(G; E), r[d] sc ∈ G SC (E), ¯
x[d] ∈ G η[d],SC (E) et ¯
E est définie sur E ;
– l’application σ → ¯
u[d](σ) se factorise par Gal(E/F ) et prend ses valeurs dans
G η[d],SC (E).
Il en résulte que l’application σ → t(σ) se factorise par Gal(E/F ) et prend
ses valeurs dans T
∗
sc (E). Construisons des paires de Borel et des éléments g et t
vérifiant la proposition 6.7.
Lemme. Sous ces hypothèses, l’élément g appartient à T
∗
sc (A E )r[d] sc G η[d],SC (A E ).
Preuve. Soient v une place de F et w
une place de E au-dessus de v. Montrons
que
(2)
g w ∈ T
∗
sc (E w )r[d] sc G η[d],SC (E w ).
Supposons d’abord que w
= w soit la restriction de ¯
v à E. Par construction, il
existe u 1 ∈ G η[d] ( ¯
F ¯
v ) de sorte que ad u1 (B[d v ], S[d v ]) = (B
∗ [d], T
∗ [d]). Les deux
couples (B[d v ]∩G η[d] , S[d v ]∩G η[d] ) et (B
∗ [d]∩G η[d] , T
∗ [d]∩G η[d] ) sont des paires de
Borel de G η[d] qui sont définies sur E w . Il existe donc u ∈ G η[d],SC (E w ) telle que la
seconde soit l’image de la première par ad u . Puisque u 1 vérifie la même propriété,
on a u 1 ∈ (T
∗ [d] ∩ G η[d] )u. Alors on a aussi ad u (B[d v ], S[d v ]) = (B
∗ [d], T
∗ [d]).
Donc ad r[d]scu (B[d v ], S[d v ]) = (B
∗ , T
∗ ). Puisque g w vérifie la même propriété et
que les deux éléments r[d] sc u et g w appartiennent à G SC (E w ), ces deux éléments