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Chapitre VII. Descente globale
Posons (B , S ) = ad hk (B 0 , T 0 ), t = t 1 yt
−1
0 y
−1 , g = yk
−1 h
−1 et r = t g .
On voit que d = (η , r ) appartient à D v , que η appartient à ˜
K v , que la paire
(B , S ) vérifie les conditions de 5.6 relatives à l’élément d , que t ∈ T
∗ (o
nr
v ), que
g ∈ K sc,w et que ad g envoie la paire (B , S ) sur (B
∗ , T
∗ ).
Revenons à notre élément quelconque d v = (η[d v ], r[d v ]) ∈ D v tel que η[d v ] ∈
˜
K v . D’après 5.5(3), on peut fixer k ∈ K ,v et u ∈ G η[dv ] ( ¯
F ¯
v ) tels que η =
k
−1
η[d v ]k et r = r[d v ]uk . L’automorphisme ad k envoie G η sur G η[dv] et est
défini sur F v . On peut donc prendre pour paire (B[d v ], S[d v ]) la paire ad k (B , S ).
Comme plus haut, l’application produit
K sc,w × T 0 (o
nr
v ) → K ,w
est surjective. Mais S est conjugué à T 0 par un élément de K sc,w . En conjuguant
la propriété ci-dessus, on obtient que l’application produit
K sc,w × S (o
nr
v ) → K ,w
est surjective. On peut donc écrire k = zls, avec z ∈ Z(G)
θ ( ¯
F ¯
v ), s ∈ S (o
nr
v )
et l ∈ K sc,w . Posons g w = g l
−1 et x = z
−1 t g s
−1 g
−1
. On a g w ∈ K w,sc ,
ad gw (B[d v ], S[d v ]) = (B
∗ , T
∗ ) et g w = x
−1 r[d v ]u. Puisque x ∈ T
∗ ( ¯
F ¯
v ), la condition
(iii) est satisfaite. On a ad gw (η[d v ]) = t w η, où t w = (θ
∗
−1)(x). Puisque η[d v ] ∈ ˜
K v
et g w ∈ K sc,w , on a ad gw (η[d v ]) ∈ ˜
K w . On a aussi η ∈ ˜
K w par définition de V
.
L’égalité précédente entraîne alors t w ∈ (1 − θ)(T
∗ ( ¯
F ¯
v )) ∩ K w = ((1 − θ)(T
∗ ))(o w ).
Enfin, puisque K w est issu de E
∗ , on a T
∗ (o w ) ⊂ K w . En conjuguant par g
−1
w ∈
K sc,w , on en déduit S[d v ](o w ) ⊂ K w . Cela satisfait les conditions (i), (iii) et (v)
en la place w. Comme on l’a vu dans la première partie de la preuve, la condition
(iii) implique (ii). Pour une autre place w
de E au-dessus de v, on construit g w
et t w comme dans cette première partie. Puisque le schéma en groupes K v est
défini sur o v , on a τ (K sc,w ) = K sc,w . Les conditions imposées à V
entraînent
que tous les termes de la formule (iv) appartiennent à K sc,w donc g w ∈ K sc,w .
Le même raisonnement que dans le cas de la place w entraîne alors que t w ∈
((1 − θ)(T
∗ ))(o w ) et que S[d v ](o w ) ⊂ K w . Cela achève la preuve.
VII.6.8 L’ensemble D F
On note D F l’ensemble des couples d = (η[d], r[d]) ∈ ˜
G(F ) × G( ¯
F ) tels que
– r[d]η[d]r[d]
−1 = η ;
– en utilisant la paire de Borel ad r[d] −1 (B
∗ , T
∗ ) dans la construction de 1.2, on
ait l’égalité (μ η[d] , ω η[d] ) = (μ, ω ¯
G ).
Soit d ∈ D F . On a fixé en 5.2 une paire de Borel épinglée ¯
E de ¯
G définie sur
¯
F . Posons (B
∗ [d], T
∗ [d]) = ad r[d] −1 (B
∗ , T
∗ ), ( ¯
B[d], ¯
T [d]) = (B
∗ [d] ∩ G η[d] , T
∗ [d] ∩
G η(d] ) et ¯
E[d] = ad r[d] −1 ( ¯
E). Alors ¯
E[d] est une paire de Borel épinglée de G η[d]
définie sur ¯
F dont la paire de Borel sous-jacente est ( ¯
B[d], ¯
T [d]). Pour tout σ ∈
Chapitre VII. Descente globale
Posons (B , S ) = ad hk (B 0 , T 0 ), t = t 1 yt
−1
0 y
−1 , g = yk
−1 h
−1 et r = t g .
On voit que d = (η , r ) appartient à D v , que η appartient à ˜
K v , que la paire
(B , S ) vérifie les conditions de 5.6 relatives à l’élément d , que t ∈ T
∗ (o
nr
v ), que
g ∈ K sc,w et que ad g envoie la paire (B , S ) sur (B
∗ , T
∗ ).
Revenons à notre élément quelconque d v = (η[d v ], r[d v ]) ∈ D v tel que η[d v ] ∈
˜
K v . D’après 5.5(3), on peut fixer k ∈ K ,v et u ∈ G η[dv ] ( ¯
F ¯
v ) tels que η =
k
−1
η[d v ]k et r = r[d v ]uk . L’automorphisme ad k envoie G η sur G η[dv] et est
défini sur F v . On peut donc prendre pour paire (B[d v ], S[d v ]) la paire ad k (B , S ).
Comme plus haut, l’application produit
K sc,w × T 0 (o
nr
v ) → K ,w
est surjective. Mais S est conjugué à T 0 par un élément de K sc,w . En conjuguant
la propriété ci-dessus, on obtient que l’application produit
K sc,w × S (o
nr
v ) → K ,w
est surjective. On peut donc écrire k = zls, avec z ∈ Z(G)
θ ( ¯
F ¯
v ), s ∈ S (o
nr
v )
et l ∈ K sc,w . Posons g w = g l
−1 et x = z
−1 t g s
−1 g
−1
. On a g w ∈ K w,sc ,
ad gw (B[d v ], S[d v ]) = (B
∗ , T
∗ ) et g w = x
−1 r[d v ]u. Puisque x ∈ T
∗ ( ¯
F ¯
v ), la condition
(iii) est satisfaite. On a ad gw (η[d v ]) = t w η, où t w = (θ
∗
−1)(x). Puisque η[d v ] ∈ ˜
K v
et g w ∈ K sc,w , on a ad gw (η[d v ]) ∈ ˜
K w . On a aussi η ∈ ˜
K w par définition de V
.
L’égalité précédente entraîne alors t w ∈ (1 − θ)(T
∗ ( ¯
F ¯
v )) ∩ K w = ((1 − θ)(T
∗ ))(o w ).
Enfin, puisque K w est issu de E
∗ , on a T
∗ (o w ) ⊂ K w . En conjuguant par g
−1
w ∈
K sc,w , on en déduit S[d v ](o w ) ⊂ K w . Cela satisfait les conditions (i), (iii) et (v)
en la place w. Comme on l’a vu dans la première partie de la preuve, la condition
(iii) implique (ii). Pour une autre place w
de E au-dessus de v, on construit g w
et t w comme dans cette première partie. Puisque le schéma en groupes K v est
défini sur o v , on a τ (K sc,w ) = K sc,w . Les conditions imposées à V
entraînent
que tous les termes de la formule (iv) appartiennent à K sc,w donc g w ∈ K sc,w .
Le même raisonnement que dans le cas de la place w entraîne alors que t w ∈
((1 − θ)(T
∗ ))(o w ) et que S[d v ](o w ) ⊂ K w . Cela achève la preuve.
VII.6.8 L’ensemble D F
On note D F l’ensemble des couples d = (η[d], r[d]) ∈ ˜
G(F ) × G( ¯
F ) tels que
– r[d]η[d]r[d]
−1 = η ;
– en utilisant la paire de Borel ad r[d] −1 (B
∗ , T
∗ ) dans la construction de 1.2, on
ait l’égalité (μ η[d] , ω η[d] ) = (μ, ω ¯
G ).
Soit d ∈ D F . On a fixé en 5.2 une paire de Borel épinglée ¯
E de ¯
G définie sur
¯
F . Posons (B
∗ [d], T
∗ [d]) = ad r[d] −1 (B
∗ , T
∗ ), ( ¯
B[d], ¯
T [d]) = (B
∗ [d] ∩ G η[d] , T
∗ [d] ∩
G η(d] ) et ¯
E[d] = ad r[d] −1 ( ¯
E). Alors ¯
E[d] est une paire de Borel épinglée de G η[d]
définie sur ¯
F dont la paire de Borel sous-jacente est ( ¯
B[d], ¯
T [d]). Pour tout σ ∈