VII.6. Calculs de facteurs de transfert
853
(v) restreinte aux places divisant v. Les relations (4), (5) et (6) entraînent la
condition (ii) restreinte aux mêmes places.
Supposons maintenant que v ∈ V
et que η[d v ] appartient à ˜
K v . On va
prouver qu’en choisissant convenablement la paire (B[d v ], S[d v ]), on peut imposer
la condition (i). Puisque v ∈ V , on peut fixer une paire de Borel épinglée E 0 =
(B 0 , T 0 , (E 0,α ) α∈Δ ) de G, définie sur F v , dont est issu de groupe K v . Puisque E
∗ et
E 0 sont toutes deux définies sur E w , il existe y ad ∈ G AD (E w ) tel que ad y ad (E 0 ) =
E
∗ . L’automorphisme ad y ad conserve le groupe K w puisque ce groupe est issu de
chacune des deux paires. Donc y ad ∈ K ad,w . On sait que les deux applications
T
∗
ad (o w ) × K sc,w → K ad,w
(t, k)
→ tπ(k)
et
T
∗
sc (o
nr
v ) → T
∗
ad (o
nr
v )
sont surjectives (le corps F
nr
v
est ici un sous-corps de ¯
F ¯
v ). On peut donc fixer
t 1 ∈ T
∗
sc (o
nr
v ) et y ∈ K sc,w tels que y ad = π(t 1 y). On a t 1 y ∈ K
nr
v . Posons
η 1 = ad (t1y) −1 (η). On reprend maintenant la preuve du lemme 1.6. Puisque η ∈
˜
K w , on a η 1 ∈ ˜
K
nr
v . De plus, ad η1 conserve (B 0 , T 0 ). Fixons ν 0 ∈ T 0 (o
nr
v ) et
e 0 ∈ Z( ˜
G, E 0 )(F
nr
v ) tels que ν 0 e 0 ∈ ˜
K, cf. 1.5. On peut écrire η 1 = ν 1 e 0 , avec
ν 1 ∈ T 0 . Puisque η 1 ∈ ˜
K
nr
v , on a ν 1 ∈ T 0 (o
nr
v ). Introduisons le cocycle z : Γ Fv →
Z(G) ∩ T 0 (o
nr
v ) tel que σ(e 0 ) = z(σ)
−1 e 0 et posons θ = ad e0 . La propriété de
définition de η se transporte à η 1 . C’est-à-dire qu’en identifiant W au groupe
de Weyl relatif à T 0 , il existe une cochaîne t : Γ Fv → (1 − θ)(T 0 ( ¯
F ¯
v )) telle que
ω ¯
G (σ)σ(ν 1 ) = z(σ)t(σ)ν 1 pour tout σ ∈ Γ ¯
v . Puisque ν 1 ∈ T 0 (o
nr
v ) et que ce groupe
est normalisé par W , cette relation implique que t(σ) ∈ ((1 − θ)(T 0 ))(o
nr
v ) et que
σ → t(σ) est un cocycle à valeurs dans ce groupe, si on munit celui-ci de l’action
σ → σ ¯
G = ω ¯
G (σ) ◦ σ. Un tel cocycle est un cobord. De plus, l’hypothèse v ∈ V ram
implique que 1 − θ : T 0 (o
nr
v ) → ((1 − θ)(T 0 ))(o
nr
v ) est surjective. On peut donc
fixer t 0 ∈ T 0 (o
nr
v ) tel que t(σ) = (1 − θ)(t 0 σ ¯
G (t 0 )
−1 ). Posons ν 2 = ν 1 (1 − θ)(t 0 ).
On a σ ¯
G (ν 2 ) = z(σ)ν 2 . On introduit le groupe G
θ
SC des points fixes de θ dans
G SC . De E 0 se déduit une paire de Borel épinglée de ce groupe puis un schéma
en groupes K
1
v . En appliquant 1.5(5), on construit k ∈ K
1
v (o w ) tel que, pour
tout σ ∈ Γ Fv , k
−1 σ(k) normalise T 0 et ait ω ¯
G (σ) pour image dans W
θ . On pose
η = kν 2 e 0 k
−1 . Le même calcul qu’en 1.6 montre que η ∈ ˜
K v et que la paire
de Borel (kB 0 k
−1
∩ G η , kT 0 k
−1
∩ G η ) de G η est définie sur F v . En reprenant
la preuve de [79] lemme 5.4, on peut la compléter en une paire de Borel épinglée
définie sur F v de sorte que le schéma en groupes K issu de cette paire vérifie la
condition K (o
nr
v ) = K
nr
v ∩ G η ( ¯
F ¯
v ). On note K ,sc le schéma en groupes associé
dans le groupe G η,SC . Pour σ ∈ Γ Fv , on pose ω S, ¯
G (σ) = ω S (σ)ω ¯
G (σ)
−1 . Par
définition, c’est un élément du groupe de Weyl W
¯
G , lequel s’identifie à W
Gη .
En appliquant de nouveau 1.5(5), on construit h ∈ K ,sc (o w ) tel que, pour tout
σ ∈ Γ Fv , h
−1 σ(h) normalise kT 0 k
−1
∩ G η et ait pour image ω S, ¯
G (σ) dans W
Gη .
853
(v) restreinte aux places divisant v. Les relations (4), (5) et (6) entraînent la
condition (ii) restreinte aux mêmes places.
Supposons maintenant que v ∈ V
et que η[d v ] appartient à ˜
K v . On va
prouver qu’en choisissant convenablement la paire (B[d v ], S[d v ]), on peut imposer
la condition (i). Puisque v ∈ V , on peut fixer une paire de Borel épinglée E 0 =
(B 0 , T 0 , (E 0,α ) α∈Δ ) de G, définie sur F v , dont est issu de groupe K v . Puisque E
∗ et
E 0 sont toutes deux définies sur E w , il existe y ad ∈ G AD (E w ) tel que ad y ad (E 0 ) =
E
∗ . L’automorphisme ad y ad conserve le groupe K w puisque ce groupe est issu de
chacune des deux paires. Donc y ad ∈ K ad,w . On sait que les deux applications
T
∗
ad (o w ) × K sc,w → K ad,w
(t, k)
→ tπ(k)
et
T
∗
sc (o
nr
v ) → T
∗
ad (o
nr
v )
sont surjectives (le corps F
nr
v
est ici un sous-corps de ¯
F ¯
v ). On peut donc fixer
t 1 ∈ T
∗
sc (o
nr
v ) et y ∈ K sc,w tels que y ad = π(t 1 y). On a t 1 y ∈ K
nr
v . Posons
η 1 = ad (t1y) −1 (η). On reprend maintenant la preuve du lemme 1.6. Puisque η ∈
˜
K w , on a η 1 ∈ ˜
K
nr
v . De plus, ad η1 conserve (B 0 , T 0 ). Fixons ν 0 ∈ T 0 (o
nr
v ) et
e 0 ∈ Z( ˜
G, E 0 )(F
nr
v ) tels que ν 0 e 0 ∈ ˜
K, cf. 1.5. On peut écrire η 1 = ν 1 e 0 , avec
ν 1 ∈ T 0 . Puisque η 1 ∈ ˜
K
nr
v , on a ν 1 ∈ T 0 (o
nr
v ). Introduisons le cocycle z : Γ Fv →
Z(G) ∩ T 0 (o
nr
v ) tel que σ(e 0 ) = z(σ)
−1 e 0 et posons θ = ad e0 . La propriété de
définition de η se transporte à η 1 . C’est-à-dire qu’en identifiant W au groupe
de Weyl relatif à T 0 , il existe une cochaîne t : Γ Fv → (1 − θ)(T 0 ( ¯
F ¯
v )) telle que
ω ¯
G (σ)σ(ν 1 ) = z(σ)t(σ)ν 1 pour tout σ ∈ Γ ¯
v . Puisque ν 1 ∈ T 0 (o
nr
v ) et que ce groupe
est normalisé par W , cette relation implique que t(σ) ∈ ((1 − θ)(T 0 ))(o
nr
v ) et que
σ → t(σ) est un cocycle à valeurs dans ce groupe, si on munit celui-ci de l’action
σ → σ ¯
G = ω ¯
G (σ) ◦ σ. Un tel cocycle est un cobord. De plus, l’hypothèse v ∈ V ram
implique que 1 − θ : T 0 (o
nr
v ) → ((1 − θ)(T 0 ))(o
nr
v ) est surjective. On peut donc
fixer t 0 ∈ T 0 (o
nr
v ) tel que t(σ) = (1 − θ)(t 0 σ ¯
G (t 0 )
−1 ). Posons ν 2 = ν 1 (1 − θ)(t 0 ).
On a σ ¯
G (ν 2 ) = z(σ)ν 2 . On introduit le groupe G
θ
SC des points fixes de θ dans
G SC . De E 0 se déduit une paire de Borel épinglée de ce groupe puis un schéma
en groupes K
1
v . En appliquant 1.5(5), on construit k ∈ K
1
v (o w ) tel que, pour
tout σ ∈ Γ Fv , k
−1 σ(k) normalise T 0 et ait ω ¯
G (σ) pour image dans W
θ . On pose
η = kν 2 e 0 k
−1 . Le même calcul qu’en 1.6 montre que η ∈ ˜
K v et que la paire
de Borel (kB 0 k
−1
∩ G η , kT 0 k
−1
∩ G η ) de G η est définie sur F v . En reprenant
la preuve de [79] lemme 5.4, on peut la compléter en une paire de Borel épinglée
définie sur F v de sorte que le schéma en groupes K issu de cette paire vérifie la
condition K (o
nr
v ) = K
nr
v ∩ G η ( ¯
F ¯
v ). On note K ,sc le schéma en groupes associé
dans le groupe G η,SC . Pour σ ∈ Γ Fv , on pose ω S, ¯
G (σ) = ω S (σ)ω ¯
G (σ)
−1 . Par
définition, c’est un élément du groupe de Weyl W
¯
G , lequel s’identifie à W
Gη .
En appliquant de nouveau 1.5(5), on construit h ∈ K ,sc (o w ) tel que, pour tout
σ ∈ Γ Fv , h
−1 σ(h) normalise kT 0 k
−1
∩ G η et ait pour image ω S, ¯
G (σ) dans W
Gη .