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Chapitre VII. Descente globale
(5) pour σ ∈ Γ ¯
v et s ∈ S[d v ]( ¯
F ¯
v ), on a l’égalité ad g w ◦σ(s) = σ S ◦ ad g w (s), où
σ S = ω S (σ) ◦ σ G ∗ ;
(6) pour s ∈ S[d v ]( ¯
F ¯
v ), on a ad g w ◦τ (s) = τ S ◦ ad gw (s) ;
(7) il existe t w ∈ ((1 − θ
∗ )(T
∗ ))(E w ) tel que ad g w (η[d v ]) = t w η.
La preuve de (4), (5) et (6) est similaire à celle de [VI] 3.6(5) et (6). On
la laisse au lecteur. Prouvons (7). Remarquons que, si l’on prouve l’existence de
t w ∈ (1 − θ
∗ )(T
∗ ( ¯
F ¯
v )) satisfaisant l’égalité ci-dessus, on a nécessairement t w ∈
((1 − θ
∗ )(T
∗ ))(E w ) puisque les autres termes de cette égalité sont définis sur
E w . Pour w
= w, on sait qu’il existe t 0 ∈ T
∗ ( ¯
F ¯
v ) et u ∈ G η[dv ] ( ¯
F ¯
v ) tels que
g w = t 0 r[d v ]u. On a alors
ad gw (η[d v ]) = ad t0 ◦ ad r[dv] (η[d v ]) = ad t0 (η) = (1 − θ
∗ )(t 0 )η.
D’où l’assertion avec t w = (1 − θ
∗ )(t 0 ). Pour une autre place w
, on a
ad g w (η[d v ]) = ad xτ G ∗ (x) −1 u E ∗ (τ ) ◦ ad τ (gw) (η[d v ]).
On a τ (η[d v ]) = η[d v ] puisque η[d v ] ∈ ˜
G(F v ). Donc
ad τ (gw) (η[d v ]) = τ ◦ ad gw (η[d v ]) = τ (t w η).
L’application τ S se prolonge en une application de ((1 − θ
∗ )(T
∗ ))( ¯
F ¯
v ) sur ((1 −
θ
∗ )(T
∗ ))( ¯
F ¯
v ) et on a
ad xτ G ∗ (x) −1 u E ∗ (τ ) ◦τ (t w ) = τ S (t w ).
Il reste à prouver que
ad xτ G ∗ (x) −1 u E ∗ (τ ) ◦τ (η) ∈ (1 − θ
∗ )(T
∗ ( ¯
F ))η.
On a écrit η = νe. Soit z(τ ) ∈ Z(G) tel que ad u E ∗ (τ ) ◦τ (e) = z(τ )
−1 e. Parce que
x appartient à G
θ
∗
SC , on a
ad xτ G ∗ (x) −1 u E ∗ (τ ) ◦τ (η) = z(τ )
−1 ad xτ G ∗ (x) −1 u E ∗ (τ ) ◦τ (ν)e
= z(τ )
−1 ω S (τ ) ◦ τ G ∗ (ν)e.
On peut décomposer ω S (τ ) en ω S, ¯
G (τ )ω ¯
G (τ ). Les conditions imposées en 1.1 à η
impliquent que z(τ )
−1 ω ¯
G (τ ) ◦ τ G ∗ (ν) appartient à (1 − θ
∗ )(T
∗ ( ¯
F ))ν. L’élément
ω S, ¯
G (τ ) appartient à W
¯
G et tout élément de ce groupe conserve l’ensemble (1 −
θ
∗ )(T
∗ ( ¯
F ))ν. On obtient
ad xτ G ∗ (x) −1 u E ∗ (τ ) ◦τ (η) ∈ (1 − θ
∗ )(T
∗ ( ¯
F ))νe = (1 − θ
∗ )(T
∗ ( ¯
F ))η.
Cela prouve (7).
Pour w
divisant v, on a défini le terme g w et la relation (7) définit le terme
t w . En posant g v = (g w ) w |v et t v = (t w ) w |v , la relation (7) entraîne la condition
Chapitre VII. Descente globale
(5) pour σ ∈ Γ ¯
v et s ∈ S[d v ]( ¯
F ¯
v ), on a l’égalité ad g w ◦σ(s) = σ S ◦ ad g w (s), où
σ S = ω S (σ) ◦ σ G ∗ ;
(6) pour s ∈ S[d v ]( ¯
F ¯
v ), on a ad g w ◦τ (s) = τ S ◦ ad gw (s) ;
(7) il existe t w ∈ ((1 − θ
∗ )(T
∗ ))(E w ) tel que ad g w (η[d v ]) = t w η.
La preuve de (4), (5) et (6) est similaire à celle de [VI] 3.6(5) et (6). On
la laisse au lecteur. Prouvons (7). Remarquons que, si l’on prouve l’existence de
t w ∈ (1 − θ
∗ )(T
∗ ( ¯
F ¯
v )) satisfaisant l’égalité ci-dessus, on a nécessairement t w ∈
((1 − θ
∗ )(T
∗ ))(E w ) puisque les autres termes de cette égalité sont définis sur
E w . Pour w
= w, on sait qu’il existe t 0 ∈ T
∗ ( ¯
F ¯
v ) et u ∈ G η[dv ] ( ¯
F ¯
v ) tels que
g w = t 0 r[d v ]u. On a alors
ad gw (η[d v ]) = ad t0 ◦ ad r[dv] (η[d v ]) = ad t0 (η) = (1 − θ
∗ )(t 0 )η.
D’où l’assertion avec t w = (1 − θ
∗ )(t 0 ). Pour une autre place w
, on a
ad g w (η[d v ]) = ad xτ G ∗ (x) −1 u E ∗ (τ ) ◦ ad τ (gw) (η[d v ]).
On a τ (η[d v ]) = η[d v ] puisque η[d v ] ∈ ˜
G(F v ). Donc
ad τ (gw) (η[d v ]) = τ ◦ ad gw (η[d v ]) = τ (t w η).
L’application τ S se prolonge en une application de ((1 − θ
∗ )(T
∗ ))( ¯
F ¯
v ) sur ((1 −
θ
∗ )(T
∗ ))( ¯
F ¯
v ) et on a
ad xτ G ∗ (x) −1 u E ∗ (τ ) ◦τ (t w ) = τ S (t w ).
Il reste à prouver que
ad xτ G ∗ (x) −1 u E ∗ (τ ) ◦τ (η) ∈ (1 − θ
∗ )(T
∗ ( ¯
F ))η.
On a écrit η = νe. Soit z(τ ) ∈ Z(G) tel que ad u E ∗ (τ ) ◦τ (e) = z(τ )
−1 e. Parce que
x appartient à G
θ
∗
SC , on a
ad xτ G ∗ (x) −1 u E ∗ (τ ) ◦τ (η) = z(τ )
−1 ad xτ G ∗ (x) −1 u E ∗ (τ ) ◦τ (ν)e
= z(τ )
−1 ω S (τ ) ◦ τ G ∗ (ν)e.
On peut décomposer ω S (τ ) en ω S, ¯
G (τ )ω ¯
G (τ ). Les conditions imposées en 1.1 à η
impliquent que z(τ )
−1 ω ¯
G (τ ) ◦ τ G ∗ (ν) appartient à (1 − θ
∗ )(T
∗ ( ¯
F ))ν. L’élément
ω S, ¯
G (τ ) appartient à W
¯
G et tout élément de ce groupe conserve l’ensemble (1 −
θ
∗ )(T
∗ ( ¯
F ))ν. On obtient
ad xτ G ∗ (x) −1 u E ∗ (τ ) ◦τ (η) ∈ (1 − θ
∗ )(T
∗ ( ¯
F ))νe = (1 − θ
∗ )(T
∗ ( ¯
F ))η.
Cela prouve (7).
Pour w
divisant v, on a défini le terme g w et la relation (7) définit le terme
t w . En posant g v = (g w ) w |v et t v = (t w ) w |v , la relation (7) entraîne la condition