VII.6. Calculs de facteurs de transfert
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places w
de E divisant v. La restriction est relative aux sous-groupes S[d v ](o w )
qui sont définis pour presque tous v et w
. Le groupe de Galois Gal(E/F ) agit
naturellement sur S[d](A E ).
Proposition. Soit d = (d v ) v∈Val(F ) ∈ D
rel
V × D
nr
A V
F
⊂ D AF . On peut fixer
– pour toute place v une paire de Borel (B[d v ], S[d v ]) vérifiant les conditions
de 5.6 ;
– un élément g = (g w ) w ∈Val(E) ∈ G SC (A E ) ;
– un élément t = (t w ) w ∈Val(E) ∈ ((1 − θ
∗ )(T
∗ ))(A E ) ;
de sorte que les conditions suivantes soient vérifiées :
(i) si v ∈ V
et η[d v ] ∈ ˜
K v , alors, pour tout w
divisant v, on a S[d v ](o w ) ⊂ K w ,
g w ∈ K sc,w et t w ∈ ((1 − θ
∗ )(T
∗ ))(o w ) ;
(ii) ad g (S[d](A E )) = S(A E ) et ad g se restreint en un isomorphisme de S[d](A E )
sur S(A E ) qui est équivariant pour les actions galoisiennes ;
(iii) pour toute place v ∈ Val(F ), on a ad gw (B[d v ], S[d v ]) = (B
∗ , T
∗ ) et g w appartient à T
∗ ( ¯
F ¯
v )r[d v ]G η[dv ] ( ¯
F ¯
v ) ;
(iv) pour toute place v ∈ Val(F ) et toute place w
de E divisant v, on a l’égalité
g w = xτ G ∗ (x)
−1 u E ∗ (τ )τ (g w ), où τ ∈ Γ F est l’élément fixé tel que τ (w) = w
;
(v) ad g (η[d]) = tη.
Remarques.
(1) La condition (i) entraîne que S[d](A E ) est contenu dans G(A E ). Cela donne
un sens à la condition (ii).
(2) On peut choisir arbitrairement la paire (B[d v ], S[d v ]) pour un ensemble fini
de places inclus dans V
, pourvu que ces paires satisfassent aux conditions
de 5.6.
(3) Sous les hypothèses de (i), la première inclusion se généralise en S[d v ](o
nr
v ) ⊂
K
nr
v . En prenant les invariants par Γ
nr
v , on en déduit S[d v ](o v ) ⊂ K v .
Preuve. Soit v ∈ Val(F ), fixons une paire de Borel (B[d v ], S[d v ]) vérifiant les
conditions de 5.6. On va prouver l’existence de g v = (g w ) w |v et t v = (t w ) w |v (où
w
|v signifie que w
divise v) vérifiant les analogues des conditions (ii) à (v) où l’on
se restreint aux places de E divisant v. Comme on l’a dit, on note w la restriction
de ¯
v à E. Les tores S[d v ] et T
∗ sont déployés sur E w . Il en résulte que les groupes
de Borel B[d v ] et B
∗ sont définis sur E w . Il existe donc g w ∈ G SC (E w ) tel que
ad gw (B[d v ], S[d v ]) = (B
∗ , T
∗ ). On fixe un tel élément. L’une des propriétés de la
paire (B[d v ], S[d v ]) est qu’il existe u ∈ G η[dv ] ( ¯
F ¯
v ) tel que ad r[dv]u (B[d v ], S[d v ]) =
(B
∗ , T
∗ ). Alors ad gwu −1 r[dv] −1 conserve (B
∗ , T
∗ ). Cela implique que g w appartient
à T
∗ ( ¯
F ¯
v )r[d v ]u. La condition (iii) est donc satisfaite. Soit w
une place de E audessus de v. On note τ l’élément fixé de Γ F tel que τ (w) = w
. On définit g w par
l’égalité de la condition (iv). Montrons que
(4) ad g w (S[d v ]) = T
∗ ;
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places w
de E divisant v. La restriction est relative aux sous-groupes S[d v ](o w )
qui sont définis pour presque tous v et w
. Le groupe de Galois Gal(E/F ) agit
naturellement sur S[d](A E ).
Proposition. Soit d = (d v ) v∈Val(F ) ∈ D
rel
V × D
nr
A V
F
⊂ D AF . On peut fixer
– pour toute place v une paire de Borel (B[d v ], S[d v ]) vérifiant les conditions
de 5.6 ;
– un élément g = (g w ) w ∈Val(E) ∈ G SC (A E ) ;
– un élément t = (t w ) w ∈Val(E) ∈ ((1 − θ
∗ )(T
∗ ))(A E ) ;
de sorte que les conditions suivantes soient vérifiées :
(i) si v ∈ V
et η[d v ] ∈ ˜
K v , alors, pour tout w
divisant v, on a S[d v ](o w ) ⊂ K w ,
g w ∈ K sc,w et t w ∈ ((1 − θ
∗ )(T
∗ ))(o w ) ;
(ii) ad g (S[d](A E )) = S(A E ) et ad g se restreint en un isomorphisme de S[d](A E )
sur S(A E ) qui est équivariant pour les actions galoisiennes ;
(iii) pour toute place v ∈ Val(F ), on a ad gw (B[d v ], S[d v ]) = (B
∗ , T
∗ ) et g w appartient à T
∗ ( ¯
F ¯
v )r[d v ]G η[dv ] ( ¯
F ¯
v ) ;
(iv) pour toute place v ∈ Val(F ) et toute place w
de E divisant v, on a l’égalité
g w = xτ G ∗ (x)
−1 u E ∗ (τ )τ (g w ), où τ ∈ Γ F est l’élément fixé tel que τ (w) = w
;
(v) ad g (η[d]) = tη.
Remarques.
(1) La condition (i) entraîne que S[d](A E ) est contenu dans G(A E ). Cela donne
un sens à la condition (ii).
(2) On peut choisir arbitrairement la paire (B[d v ], S[d v ]) pour un ensemble fini
de places inclus dans V
, pourvu que ces paires satisfassent aux conditions
de 5.6.
(3) Sous les hypothèses de (i), la première inclusion se généralise en S[d v ](o
nr
v ) ⊂
K
nr
v . En prenant les invariants par Γ
nr
v , on en déduit S[d v ](o v ) ⊂ K v .
Preuve. Soit v ∈ Val(F ), fixons une paire de Borel (B[d v ], S[d v ]) vérifiant les
conditions de 5.6. On va prouver l’existence de g v = (g w ) w |v et t v = (t w ) w |v (où
w
|v signifie que w
divise v) vérifiant les analogues des conditions (ii) à (v) où l’on
se restreint aux places de E divisant v. Comme on l’a dit, on note w la restriction
de ¯
v à E. Les tores S[d v ] et T
∗ sont déployés sur E w . Il en résulte que les groupes
de Borel B[d v ] et B
∗ sont définis sur E w . Il existe donc g w ∈ G SC (E w ) tel que
ad gw (B[d v ], S[d v ]) = (B
∗ , T
∗ ). On fixe un tel élément. L’une des propriétés de la
paire (B[d v ], S[d v ]) est qu’il existe u ∈ G η[dv ] ( ¯
F ¯
v ) tel que ad r[dv]u (B[d v ], S[d v ]) =
(B
∗ , T
∗ ). Alors ad gwu −1 r[dv] −1 conserve (B
∗ , T
∗ ). Cela implique que g w appartient
à T
∗ ( ¯
F ¯
v )r[d v ]u. La condition (iii) est donc satisfaite. Soit w
une place de E audessus de v. On note τ l’élément fixé de Γ F tel que τ (w) = w
. On définit g w par
l’égalité de la condition (iv). Montrons que
(4) ad g w (S[d v ]) = T
∗ ;