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Chapitre VII. Descente globale
Soit d = (d v ) v∈Val(F ) ∈ D
rel
V ×D
nr
A V
F
⊂ D AF . On peut fixer pour toute place v ∈
Val(F ) une paire de Borel (B[d v ], S[d v ]) vérifiant les conditions de 5.6. Rappelons
celles-ci. Le tore S[d v ] est défini sur F v . Le sous-groupe de Borel B[d v ] est défini
sur ¯
F v . La paire (B[d v ], S[d v ]) est conservée par ad η[dv] . Il existe u ∈ G η[dv ] tel que
ad r[dv]u (B[d v ], S[d v ]) = (B
∗ , T
∗ ) et que ad r[dv]u se restreigne en un isomorphisme
défini sur F v de S[d v ] sur S (on rappelle que S = T
∗ muni de l’action galoisienne
σ → ω S (σ)σ G ∗ ). Nous allons imposer des conditions supplémentaires «globales» à
ces paires.
On a fixé en 5.2 une paire de Borel épinglée E
∗ de G, une paire de Borel
épinglée ¯
E de ¯
G et des éléments ν ∈ T
∗ et e ∈ Z( ˜
G, E
∗ ). On a noté θ
∗ = ad e . On
fixe pour tout σ ∈ Γ F un élément u E ∗ (σ) ∈ G SC ( ¯
F ) tel que σ G ∗ = ad u E ∗ (σ) ◦σ
conserve E
∗ . On peut supposer que σ → u E ∗ (σ) est continue et se factorise par
un quotient fini de Γ F . On peut aussi supposer u E ∗ (1) = 1. D’autre part, les
applications σ → ω ¯
G (σ) et σ → ω S (σ) sont des cocycles de Γ F dans W
θ
∗ (muni
de l’action quasi-déployée). D’après [44] corollaire 2.2, on peut fixer x ∈ G
θ
∗
SC ( ¯
F )
tel que xσ G ∗ (x)
−1 normalise T
∗ et ait ω S (σ) pour image dans W . On fixe une
extension galoisienne finie E de F telle que
– E
∗ et ¯
E soient définies sur E et G soit déployé sur E ;
– ν ∈ T
∗ (E), e ∈ Z( ˜
G, E
∗ ; E), x ∈ G
θ
∗
SC (E) ;
– l’application σ → u E ∗ (σ) se factorise par Gal(E/F ) et prend ses valeurs dans
G SC (E) :
– l’application σ → ω ¯
G (σ) se factorise par Gal(E/F ).
Il en résulte que toutes les actions galoisiennes coïncident sur Γ E et que tous
les groupes qui interviennent sont déployés sur E. Utilisons les définitions de 1.5.
Fixons un ensemble fini V
de places de F , contenant V , de sorte que, pour toute
place v ∈ V
et toute place w
de E au-dessus de v, E w /F v soit non ramifiée et
que les propriétés suivantes soient vérifiées
– K w est le sous-groupe compact hyperspécial issu de la paire de Borel épinglée
E
∗ ;
– e ∈ ˜
K w , ν ∈ T
∗ (o w ), x ∈ K w et, pour tout σ ∈ Γ F , u E ∗ (σ) ∈ K w .
Soit v ∈ Val(F ). Rappelons que v a été prolongée en une place ¯
v de ¯
F , cf.
[VI] 1.1. Le corps ¯
F v a été identifié à la clôture algébrique de F v dans le complété
de ¯
F en ¯
v. Par abus de notations, notons-le ¯
F ¯
v . Le groupe Γ Fv a été identifié au
fixateur de ¯
v dans Γ F . Notons-le plutôt Γ ¯
v . On notera sans plus de commentaire
w la restriction de ¯
v à E. Soit w
une autre place de E divisant v. On fixe une fois
pour toutes un élément τ ∈ Γ F telle que τ (w) = w
(avec τ = 1 dans le cas w
= w).
Notons ¯
v
= τ (¯ v). De τ se déduit un isomorphisme de ¯
F ¯
v sur ¯
F ¯
v . Pour toute variété
algébrique X défini sur F v , on a aussi un isomorphisme τ : X( ¯
F ¯
v ) → X( ¯
F ¯
v ). Pour
une paire (B[d v ], S[d v ]) comme ci-dessus, le groupe B[d v ] est précisément défini
sur ¯
F ¯
v . En fait, le tore S[d v ] est déployé sur E w donc tout sous-groupe de Borel
contenant ce tore est défini sur E w . En particulier B[d v ] est défini sur E w . Notons
S[d](A E ) le produit restreint des S[d v ](E w ) sur toutes les places v ∈ Val(F ) et les
Chapitre VII. Descente globale
Soit d = (d v ) v∈Val(F ) ∈ D
rel
V ×D
nr
A V
F
⊂ D AF . On peut fixer pour toute place v ∈
Val(F ) une paire de Borel (B[d v ], S[d v ]) vérifiant les conditions de 5.6. Rappelons
celles-ci. Le tore S[d v ] est défini sur F v . Le sous-groupe de Borel B[d v ] est défini
sur ¯
F v . La paire (B[d v ], S[d v ]) est conservée par ad η[dv] . Il existe u ∈ G η[dv ] tel que
ad r[dv]u (B[d v ], S[d v ]) = (B
∗ , T
∗ ) et que ad r[dv]u se restreigne en un isomorphisme
défini sur F v de S[d v ] sur S (on rappelle que S = T
∗ muni de l’action galoisienne
σ → ω S (σ)σ G ∗ ). Nous allons imposer des conditions supplémentaires «globales» à
ces paires.
On a fixé en 5.2 une paire de Borel épinglée E
∗ de G, une paire de Borel
épinglée ¯
E de ¯
G et des éléments ν ∈ T
∗ et e ∈ Z( ˜
G, E
∗ ). On a noté θ
∗ = ad e . On
fixe pour tout σ ∈ Γ F un élément u E ∗ (σ) ∈ G SC ( ¯
F ) tel que σ G ∗ = ad u E ∗ (σ) ◦σ
conserve E
∗ . On peut supposer que σ → u E ∗ (σ) est continue et se factorise par
un quotient fini de Γ F . On peut aussi supposer u E ∗ (1) = 1. D’autre part, les
applications σ → ω ¯
G (σ) et σ → ω S (σ) sont des cocycles de Γ F dans W
θ
∗ (muni
de l’action quasi-déployée). D’après [44] corollaire 2.2, on peut fixer x ∈ G
θ
∗
SC ( ¯
F )
tel que xσ G ∗ (x)
−1 normalise T
∗ et ait ω S (σ) pour image dans W . On fixe une
extension galoisienne finie E de F telle que
– E
∗ et ¯
E soient définies sur E et G soit déployé sur E ;
– ν ∈ T
∗ (E), e ∈ Z( ˜
G, E
∗ ; E), x ∈ G
θ
∗
SC (E) ;
– l’application σ → u E ∗ (σ) se factorise par Gal(E/F ) et prend ses valeurs dans
G SC (E) :
– l’application σ → ω ¯
G (σ) se factorise par Gal(E/F ).
Il en résulte que toutes les actions galoisiennes coïncident sur Γ E et que tous
les groupes qui interviennent sont déployés sur E. Utilisons les définitions de 1.5.
Fixons un ensemble fini V
de places de F , contenant V , de sorte que, pour toute
place v ∈ V
et toute place w
de E au-dessus de v, E w /F v soit non ramifiée et
que les propriétés suivantes soient vérifiées
– K w est le sous-groupe compact hyperspécial issu de la paire de Borel épinglée
E
∗ ;
– e ∈ ˜
K w , ν ∈ T
∗ (o w ), x ∈ K w et, pour tout σ ∈ Γ F , u E ∗ (σ) ∈ K w .
Soit v ∈ Val(F ). Rappelons que v a été prolongée en une place ¯
v de ¯
F , cf.
[VI] 1.1. Le corps ¯
F v a été identifié à la clôture algébrique de F v dans le complété
de ¯
F en ¯
v. Par abus de notations, notons-le ¯
F ¯
v . Le groupe Γ Fv a été identifié au
fixateur de ¯
v dans Γ F . Notons-le plutôt Γ ¯
v . On notera sans plus de commentaire
w la restriction de ¯
v à E. Soit w
une autre place de E divisant v. On fixe une fois
pour toutes un élément τ ∈ Γ F telle que τ (w) = w
(avec τ = 1 dans le cas w
= w).
Notons ¯
v
= τ (¯ v). De τ se déduit un isomorphisme de ¯
F ¯
v sur ¯
F ¯
v . Pour toute variété
algébrique X défini sur F v , on a aussi un isomorphisme τ : X( ¯
F ¯
v ) → X( ¯
F ¯
v ). Pour
une paire (B[d v ], S[d v ]) comme ci-dessus, le groupe B[d v ] est précisément défini
sur ¯
F ¯
v . En fait, le tore S[d v ] est déployé sur E w donc tout sous-groupe de Borel
contenant ce tore est défini sur E w . En particulier B[d v ] est défini sur E w . Notons
S[d](A E ) le produit restreint des S[d v ](E w ) sur toutes les places v ∈ Val(F ) et les