VII.6. Calculs de facteurs de transfert
849
Le conoyau ci-dessus est donc isomorphe à (1−θ)(A G ). En reprenant les définitions
de [48], on voit que l’image de ce groupe par la section de l’homomorphisme (2)
coïncide avec l’image de
A G →
v∈Val∞(F )
G(F v )
v∈Val∞ (F ) ιv ◦ζ v
−→
Q.
Notons Q c le noyau de (2). On obtient un isomorphisme
Q Q c × (1 − θ)(A G ).
C’est un homéomorphisme et le groupe Q c est compact d’après [48] lemme C.2.D.
La description que l’on vient de donner de l’image de (1 − θ)(A G ) dans Q montre
que ce groupe est contenu dans Q 0 . Donc Q 0 est le produit de (1 − θ)(A G ) et
d’un sous-groupe ouvert de Q c . Ce dernier étant compact, ce sous-groupe est aussi
fermé et d’indice fini. D’où la première assertion de l’énoncé.
Par définition de P
0 et d’après la proposition 6.5, P
0 est l’annulateur du
sous-groupe Q
0 de Q engendré par les images des différents homomorphismes
décrits dans cette proposition. C’est aussi l’annulateur de l’adhérence Q
0 de ce
sous-groupe. Tous les groupes décrits dans la proposition 6.5 sont inclus dans Q 0 .
Donc Q
0 ⊂ Q 0 et aussi Q
0 ⊂ Q 0 puisque Q 0 est fermé. En sens inverse, Q
0
contient q 1 (Q 1 ). Il contient ι v ◦ ζ v (G ab (F v )) pour tout v. Il est clair que q 2 (Q 2 )
est l’adhérence du groupe engendré par ces sous-groupes quand v parcourt Val(F ).
Donc q 2 (Q 2 ) ⊂ Q
0 . De même, Q
0 contient ι v ◦ ζ ,v (G ab (o v )) pour tout v ∈ V . Le
groupe q 3 (Q 3 ) est l’adhérence du groupe engendré par ces sous-groupes quand v
parcourt Val(F ) − V . Donc q 3 (Q 3 ) ⊂ Q
0 . Cela démontre que Q
0 = Q 0 donc que
P
0 est l’annulateur de Q 0 .
Puisque Q 0 est un sous-groupe ouvert d’indice fini de Q, de la dualité entre
P et Q se déduit une dualité entre les groupes finis P
0 et Q/Q 0 . Alors Q 0 est aussi
l’annulateur de P
0 dans Q.
VII.6.7 L’ensemble D A F
Pour toute place v ∈ Val(F ), on a défini l’ensemble D v en 5.4. La condition 5.1(3)
signifie qu’il est non vide. On note D AF l’ensemble des familles d = (d v ) v∈Val(F )
telles que d v ∈ D v pour tout v et η[d] ∈ ˜
G(A F ), où η[d] = (η[d v ]) v∈Val(F ) . Soulignons qu’on n’impose aucune condition «globale» à la famille r[d]= (r[d v ]) v∈Val(F ) .
On définit de même D A V
F
en remplaçant l’ensemble d’indices Val(F ) par
Val(F )−V . On a l’égalité D AF = D V ×D A V
F
. Pour un élément d = (d v ) v∈Val(F ) , on
a η[d v ] ∈ ˜
K v pour presque tout v, donc d v ∈ D
nr
v pour presque tout v. Inversement,
on a dit en 5.5(2) que le lemme 1.6 impliquait que l’ensemble D
nr
v était non vide
pour tout v ∈ V . Puisque D V non vide d’après 5.1(3), l’ensemble D AF n’est pas
vide lui non plus. On note D
nr
A V
F
le sous-ensemble des d = (d v ) v∈Val(F )−V ∈ D A V
F
tels que d v ∈ D
nr
v pour tout v ∈ V . Il n’est pas vide lui non plus.
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Le conoyau ci-dessus est donc isomorphe à (1−θ)(A G ). En reprenant les définitions
de [48], on voit que l’image de ce groupe par la section de l’homomorphisme (2)
coïncide avec l’image de
A G →
v∈Val∞(F )
G(F v )
v∈Val∞ (F ) ιv ◦ζ v
−→
Q.
Notons Q c le noyau de (2). On obtient un isomorphisme
Q Q c × (1 − θ)(A G ).
C’est un homéomorphisme et le groupe Q c est compact d’après [48] lemme C.2.D.
La description que l’on vient de donner de l’image de (1 − θ)(A G ) dans Q montre
que ce groupe est contenu dans Q 0 . Donc Q 0 est le produit de (1 − θ)(A G ) et
d’un sous-groupe ouvert de Q c . Ce dernier étant compact, ce sous-groupe est aussi
fermé et d’indice fini. D’où la première assertion de l’énoncé.
Par définition de P
0 et d’après la proposition 6.5, P
0 est l’annulateur du
sous-groupe Q
0 de Q engendré par les images des différents homomorphismes
décrits dans cette proposition. C’est aussi l’annulateur de l’adhérence Q
0 de ce
sous-groupe. Tous les groupes décrits dans la proposition 6.5 sont inclus dans Q 0 .
Donc Q
0 ⊂ Q 0 et aussi Q
0 ⊂ Q 0 puisque Q 0 est fermé. En sens inverse, Q
0
contient q 1 (Q 1 ). Il contient ι v ◦ ζ v (G ab (F v )) pour tout v. Il est clair que q 2 (Q 2 )
est l’adhérence du groupe engendré par ces sous-groupes quand v parcourt Val(F ).
Donc q 2 (Q 2 ) ⊂ Q
0 . De même, Q
0 contient ι v ◦ ζ ,v (G ab (o v )) pour tout v ∈ V . Le
groupe q 3 (Q 3 ) est l’adhérence du groupe engendré par ces sous-groupes quand v
parcourt Val(F ) − V . Donc q 3 (Q 3 ) ⊂ Q
0 . Cela démontre que Q
0 = Q 0 donc que
P
0 est l’annulateur de Q 0 .
Puisque Q 0 est un sous-groupe ouvert d’indice fini de Q, de la dualité entre
P et Q se déduit une dualité entre les groupes finis P
0 et Q/Q 0 . Alors Q 0 est aussi
l’annulateur de P
0 dans Q.
VII.6.7 L’ensemble D A F
Pour toute place v ∈ Val(F ), on a défini l’ensemble D v en 5.4. La condition 5.1(3)
signifie qu’il est non vide. On note D AF l’ensemble des familles d = (d v ) v∈Val(F )
telles que d v ∈ D v pour tout v et η[d] ∈ ˜
G(A F ), où η[d] = (η[d v ]) v∈Val(F ) . Soulignons qu’on n’impose aucune condition «globale» à la famille r[d]= (r[d v ]) v∈Val(F ) .
On définit de même D A V
F
en remplaçant l’ensemble d’indices Val(F ) par
Val(F )−V . On a l’égalité D AF = D V ×D A V
F
. Pour un élément d = (d v ) v∈Val(F ) , on
a η[d v ] ∈ ˜
K v pour presque tout v, donc d v ∈ D
nr
v pour presque tout v. Inversement,
on a dit en 5.5(2) que le lemme 1.6 impliquait que l’ensemble D
nr
v était non vide
pour tout v ∈ V . Puisque D V non vide d’après 5.1(3), l’ensemble D AF n’est pas
vide lui non plus. On note D
nr
A V
F
le sous-ensemble des d = (d v ) v∈Val(F )−V ∈ D A V
F
tels que d v ∈ D
nr
v pour tout v ∈ V . Il n’est pas vide lui non plus.