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Chapitre VII. Descente globale
On a déjà défini l’homomorphisme q 1 : H
1 (A F /F ; S ¯
H ) → Q. On pose Q 1 =
H
1 (A F /F ; S ¯
H ).
Pour toute place v, on a défini des homomorphismes ζ v : G ab (F v ) → Q v et
ζ ,v : G ,ab (F v ) → Q v . Ils se globalisent en des homomorphismes ζ : H
0
ab (A F ; G) →
H
1,0 (A F ; S sc
1−θ
→ (1 − θ)(S)) et ζ : H
0
ab (A F ; G ) → H
1,0 (A F ; S sc
1−θ
→ (1 − θ)(S)).
En poussant le premier par l’application naturelle H
1,0 (A F ; S sc
1−θ
→ (1 − θ)(S)) →
Q, on obtient un homomorphisme H
0
ab (A F ; G) → Q. Il est clair qu’il annule l’image
naturelle de H
0
ab (F ; G) dans l’espace de départ. En notant Im(H
0
ab (F ; G)) cette
image et Q 2 = H
0
ab (A F ; G)/ Im(H
0
ab (F ; G)), on obtient un homomorphisme q 2 :
Q 2 → Q. Notons Q 3 =
v ∈V H
0
ab (o v ; G ). C’est un sous-groupe de H
0
ab (A F ; G ).
En utilisant l’homomorphisme ζ , on obtient de même un homomorphisme q 3 :
Q 3 → Q.
On note Q 0 le sous-groupe de Q engendré par les sous-groupes q i (Q i ) pour
i = 1, 2, 3.
Lemme. Le groupe Q 0 est un sous-groupe ouvert, fermé et d’indice fini de Q. Le
groupe P
0 est l’annulateur de Q 0 dans P . Le groupe Q 0 est l’annulateur de P
0
dans Q.
Preuve. On a une suite d’homomorphismes
(1)
((1 − θ)(S))(A F ) → H
1,0 (A F ; S sc
1−θ
→ (1 − θ)(S)) → Q.
Pour toute place v, le diagramme suivant est commutatif
S(F v )
G(F v )
( 1 − θ)(S(F v ))
↓
↓
((1 − θ)(S))(F v )
↓
G ab (F v )
ζ v
→
Q v .
Donc Q 0 contient l’image naturelle de (1 − θ)(S(F v )). Ce groupe s’envoyant sur un
sous-groupe ouvert d’indice fini de ((1 − θ)(S))(F v ), Q 0 contient l’image naturelle
d’un tel sous-groupe. L’assertion 6.5(2) montre qu’il contient aussi ((1−θ)(S))(o v )
pour presque toute place finie v. Donc Q 0 contient l’image par la suite d’homomorphismes (1) d’un sous-groupe ouvert de ((1 − θ)(S))(A F ). D’après la définition
de la topologie de Q ([48] page 147), Q 0 est donc un sous-groupe ouvert de Q.
En [48] page 151, Kottwitz et Shelstad définissent un homomorphisme
(2)
Q = H
1,0 (A F /F ; S sc
1−θ
→ (1 − θ)(S)) → coker(A Ssc
1−θ
→ A (1−θ)(S) ).
Cet homomorphisme possède une section naturelle. On a l’égalité A S = A Ssc ×A G ,
d’où
A (1−θ)(S) = (1 − θ)(A S ) = (1 − θ)(A Ssc ) × (1 − θ)(A G ).
Chapitre VII. Descente globale
On a déjà défini l’homomorphisme q 1 : H
1 (A F /F ; S ¯
H ) → Q. On pose Q 1 =
H
1 (A F /F ; S ¯
H ).
Pour toute place v, on a défini des homomorphismes ζ v : G ab (F v ) → Q v et
ζ ,v : G ,ab (F v ) → Q v . Ils se globalisent en des homomorphismes ζ : H
0
ab (A F ; G) →
H
1,0 (A F ; S sc
1−θ
→ (1 − θ)(S)) et ζ : H
0
ab (A F ; G ) → H
1,0 (A F ; S sc
1−θ
→ (1 − θ)(S)).
En poussant le premier par l’application naturelle H
1,0 (A F ; S sc
1−θ
→ (1 − θ)(S)) →
Q, on obtient un homomorphisme H
0
ab (A F ; G) → Q. Il est clair qu’il annule l’image
naturelle de H
0
ab (F ; G) dans l’espace de départ. En notant Im(H
0
ab (F ; G)) cette
image et Q 2 = H
0
ab (A F ; G)/ Im(H
0
ab (F ; G)), on obtient un homomorphisme q 2 :
Q 2 → Q. Notons Q 3 =
v ∈V H
0
ab (o v ; G ). C’est un sous-groupe de H
0
ab (A F ; G ).
En utilisant l’homomorphisme ζ , on obtient de même un homomorphisme q 3 :
Q 3 → Q.
On note Q 0 le sous-groupe de Q engendré par les sous-groupes q i (Q i ) pour
i = 1, 2, 3.
Lemme. Le groupe Q 0 est un sous-groupe ouvert, fermé et d’indice fini de Q. Le
groupe P
0 est l’annulateur de Q 0 dans P . Le groupe Q 0 est l’annulateur de P
0
dans Q.
Preuve. On a une suite d’homomorphismes
(1)
((1 − θ)(S))(A F ) → H
1,0 (A F ; S sc
1−θ
→ (1 − θ)(S)) → Q.
Pour toute place v, le diagramme suivant est commutatif
S(F v )
G(F v )
( 1 − θ)(S(F v ))
↓
↓
((1 − θ)(S))(F v )
↓
G ab (F v )
ζ v
→
Q v .
Donc Q 0 contient l’image naturelle de (1 − θ)(S(F v )). Ce groupe s’envoyant sur un
sous-groupe ouvert d’indice fini de ((1 − θ)(S))(F v ), Q 0 contient l’image naturelle
d’un tel sous-groupe. L’assertion 6.5(2) montre qu’il contient aussi ((1−θ)(S))(o v )
pour presque toute place finie v. Donc Q 0 contient l’image par la suite d’homomorphismes (1) d’un sous-groupe ouvert de ((1 − θ)(S))(A F ). D’après la définition
de la topologie de Q ([48] page 147), Q 0 est donc un sous-groupe ouvert de Q.
En [48] page 151, Kottwitz et Shelstad définissent un homomorphisme
(2)
Q = H
1,0 (A F /F ; S sc
1−θ
→ (1 − θ)(S)) → coker(A Ssc
1−θ
→ A (1−θ)(S) ).
Cet homomorphisme possède une section naturelle. On a l’égalité A S = A Ssc ×A G ,
d’où
A (1−θ)(S) = (1 − θ)(A S ) = (1 − θ)(A Ssc ) × (1 − θ)(A G ).