VII.6. Calculs de facteurs de transfert
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Donc, pour p ∈ P , la condition que res Iv (p) appartienne à l’image de ϕ v est
équivalente à ce que p 2,,,v ◦ res v (p) appartienne au noyau de Res ,Iv . Le groupe
H
1 (W Fv ; Z( ˆ
G )) s’identifie à Hom cont (G ,ab (F v ), C
× ). D’après 1.5(4) et 6.2(1), un
élément χ ∈ H
1 (W Fv ; Z( ˆ
G )) est annulé par Res ,Iv si et seulement si χ annule
G ,ab (o v ). La condition que res Iv (p) appartienne à l’image de ϕ v équivaut donc
à l’égalité p 2,,,v ◦ res v (p), k = 1 pour tout k ∈ G ,ab (o v ). Mais on a l’égalité
< p 2,,,v ◦ res v (p), k >=
p, ι v ◦ ζ ,v (k)
. La condition ci-dessus équivaut donc à ce
que p annule ι v ◦ ζ ,v (G ,ab (o v )). Cela prouve (ii).
Supposons que v soit une place hors de V en laquelle S est non ramifiée. On
a alors
(2) le groupe ι v ◦ ζ ,v (G ,ab (o v )) coïncide avec l’image naturelle dans Q de ((1 −
θ)(S))(o v ).
Preuve. On a une suite exacte
1 → S
θ /Z(G)
θ
→ S
1−θ
→ (1 − θ)(S) → 1.
Il s’en déduit une suite exacte
1 → (S
θ /Z(G)
θ )(o
nr
v ) → S (o
nr
v )
1−θ
→ ((1 − θ)(S))(o
nr
v ) → 1.
Mais le groupe S
θ /Z(G)
θ est connexe en vertu de l’égalité S
θ = S
θ,0 Z(G)
θ . En
prenant les invariants par le groupe de Galois Γ
nr
v , le théorème de Lang implique
la surjectivité de l’homomorphisme
S (o v )
1−θ
→ ((1 − θ)(S))(o v ).
On a le diagramme commutatif
S (o v )
1−θ
→ ((1 − θ)(S))(o v )
↓
↓
G ,ab (F v ) →
Q v .
D’après 1.5(2) et 6.2(1), l’image de S (o v ) dans G ,ab (F v ) coïncide avec G ,ab (o v ).
Cela conclut.
VII.6.6 Description d’un annulateur
On note P
0 le sous-groupe des p ∈ P tels que
– p 1 (p) = 0 ;
– pour toute place v, p 2,v ◦ res v (p) = 0 ;
– pour toute place v ∈ V , res Iv (p) appartient à l’image de ϕ v .
Remarquons que l’ensemble P (H) ⊂ P introduit en 6.4 est soit vide, soit une
unique classe modulo ce sous-groupe P
0 .