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Chapitre VII. Descente globale
Soit v une place de F . On a un diagramme
P
resv
→ P v
p2,v
→ H
1 (W Fv ; Z( ˆ
G))
Q
ιv
← Q v
ζ v
←
G ab (F v ) .
Il y a des accouplements entre P et Q, entre P v et Q v et entre H
1 (W Fv ; Z( ˆ
G))
et G ab (F v ). On a déjà dit que, par le premier accouplement, P s’identifiait à
Hom cont (Q, C
× ). On sait aussi que, par le dernier, H
1 (W Fv ; Z( ˆ
G)) s’identifie à
Hom cont (G ab (F v ), C
× ). On vérifie que p 2,v ◦ res v s’identifie à l’homomorphisme
Hom cont (G ab (F v ), C
× ) → Hom cont (Q, C
× )
dual de ι v ◦ζ v . L’assertion (ii) résulte alors du même principe général que ci-dessus.
Remarque. En général, l’accouplement entre P v et Q v a un noyau dans P v , égal
à l’image naturelle de l’homomorphisme ˆ
S
ΓF v ,0
ad
→ P v . C’est le conoyau de cet
homomorphisme qui s’identifie à Hom cont (Q v , C
× ).
Soit v ∈ V . Notons S = S/Z(G)
θ . On a décrit le tore dual ˆ
S en [I] 2.7. On
a une suite exacte
1 → ˆ
S sc / ˆ
S
ˆ
θ
sc
(π,1− ˆ
θ)
→ ˆ
S/ ˆ
S
ˆ
θ,0
× ˆ
S sc → ˆ
S → 1.
Il s’en déduit un diagramme commutatif
ˆ
S sc / ˆ
S
ˆ
θ
sc
1− ˆ
θ
→ ˆ
S sc
↓
↓
ˆ
S/ ˆ
S
ˆ
θ,0
1− ˆ
θ
→ ˆ
S ad
↓
↓
ˆ
S
→ ˆ
S ad .
C’est un triangle distingué dans la catégorie des complexes de tores. On obtient
un diagramme
H
1,0 (I v ; ˆ
S sc / ˆ
S
ˆ
θ
sc
1− ˆ
θ
→ ˆ
S sc )
↓ ϕ v
P
resv
→
P v
ResI v
→
H
1,0 (I v ; ˆ
S/ ˆ
S
ˆ
θ,0 1− ˆ
θ
→ ˆ
S ad )
↓ p 2,,,v
↓
H
1,0 (W Fv ; ˆ
S → ˆ
S ad )
Res ,Iv
→
H
1,0 (I v ; ˆ
S → ˆ
S ad )
H
1 (W Fv ; Z( ˆ
G ))
Res ,Iv
→
H
1 (I v ; Z( ˆ
G )) .
Les deux premiers homomorphismes de la colonne de droite forment une suite
exacte. D’autre part, on a l’égalité res Iv = Res Iv ◦ res v avec la notation ci-dessus.