VII.6. Calculs de facteurs de transfert
845
On note res v : P → P v l’homomorphisme de restriction et ι v : Q v → Q l’homomorphisme naturel. On note
p 2,v : P v → H
1 (W Fv ; Z( ˆ
G))
l’analogue local de l’homomorphisme p
2 .
On a rappelé en 5.5 le groupe G = G/Z(G)
θ . On a le diagramme commutatif
S sc →
S
↓
↓
S sc →
S/Z(G)
θ
↓
↓ 1 − θ
S sc
1−θ
→ (1 − θ)(S) .
Comme on l’a dit en 6.2, le groupe G ab (F v ) peut se définir à l’aide du complexe
S sc → S. De même, G ,ab (F v ) peut se définir à l’aide du complexe S sc → S/Z(G)
θ .
On déduit du diagramme ci-dessus un diagramme commutatif
G ab (F v )
ζ v
↓
Q v .
ζ ,v
G ,v
Enfin, on note
q 1 : H
1 (A F /F ; S ¯
H ) → Q
l’homomorphisme déduit de l’homomorphisme S ¯
H → S sc dual de ˆ
S ad → ˆ
S ¯
H .
Proposition.
(i) Pour toute place v, le noyau de p 2,v ◦ res v est l’annulateur dans P de ι v ◦
ζ v (G ab (F v )).
(ii) Pour toute place v ∈ V , le sous-groupe des p ∈ P tels que res Iv appartienne
à l’image de ϕ v est l’annulateur dans P de ι v ◦ ζ ,v (G ,ab (o v ).
(iii) Le noyau de p 1 est l’annulateur dans P de l’image de q 1 .
Preuve. L’accouplement entre H
1 (A F /F ; S ¯
H ) et ˆ
S
ΓF
¯
H
identifie le second groupe à
celui des homomorphismes continus du premier dans C
× . Comme dans la preuve
de (1), cela résulte de [48] lemme C.2.C et de l’ellipticité de S ¯
H . Alors p 1 s’identifie
à l’homomorphisme
Hom cont (Q, C
× ) → Hom cont (H
1 (A F /F ; S ¯
H ), C
× )
déduit par dualité de q 1 . L’assertion (iii) résulte de la propriété générale suivante :
si f : X → Y est un homomorphisme continu entre groupes abéliens localement
compacts, le noyau de l’homomorphisme dual
f
D : Hom cont (Y, C
× ) → Hom cont (X, C
× )
est l’annulateur de l’image de f .
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On note res v : P → P v l’homomorphisme de restriction et ι v : Q v → Q l’homomorphisme naturel. On note
p 2,v : P v → H
1 (W Fv ; Z( ˆ
G))
l’analogue local de l’homomorphisme p
2 .
On a rappelé en 5.5 le groupe G = G/Z(G)
θ . On a le diagramme commutatif
S sc →
S
↓
↓
S sc →
S/Z(G)
θ
↓
↓ 1 − θ
S sc
1−θ
→ (1 − θ)(S) .
Comme on l’a dit en 6.2, le groupe G ab (F v ) peut se définir à l’aide du complexe
S sc → S. De même, G ,ab (F v ) peut se définir à l’aide du complexe S sc → S/Z(G)
θ .
On déduit du diagramme ci-dessus un diagramme commutatif
G ab (F v )
ζ v
↓
Q v .
ζ ,v
G ,v
Enfin, on note
q 1 : H
1 (A F /F ; S ¯
H ) → Q
l’homomorphisme déduit de l’homomorphisme S ¯
H → S sc dual de ˆ
S ad → ˆ
S ¯
H .
Proposition.
(i) Pour toute place v, le noyau de p 2,v ◦ res v est l’annulateur dans P de ι v ◦
ζ v (G ab (F v )).
(ii) Pour toute place v ∈ V , le sous-groupe des p ∈ P tels que res Iv appartienne
à l’image de ϕ v est l’annulateur dans P de ι v ◦ ζ ,v (G ,ab (o v ).
(iii) Le noyau de p 1 est l’annulateur dans P de l’image de q 1 .
Preuve. L’accouplement entre H
1 (A F /F ; S ¯
H ) et ˆ
S
ΓF
¯
H
identifie le second groupe à
celui des homomorphismes continus du premier dans C
× . Comme dans la preuve
de (1), cela résulte de [48] lemme C.2.C et de l’ellipticité de S ¯
H . Alors p 1 s’identifie
à l’homomorphisme
Hom cont (Q, C
× ) → Hom cont (H
1 (A F /F ; S ¯
H ), C
× )
déduit par dualité de q 1 . L’assertion (iii) résulte de la propriété générale suivante :
si f : X → Y est un homomorphisme continu entre groupes abéliens localement
compacts, le noyau de l’homomorphisme dual
f
D : Hom cont (Y, C
× ) → Hom cont (X, C
× )
est l’annulateur de l’image de f .