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Chapitre VII. Descente globale
G
n’a pas de raison d’appartenir à l’ensemble de représentants des classes de ˆ
T -
équivalence que l’on a fixé, mais on peut la remplacer par l’élément de cet ensemble
qui lui est ˆ
T -équivalent. Alors (G
, μ
, ω ¯
G ) appartient à l’ensemble J • (H) introduit en 5.4. On rappelle que cet ensemble est défini de façon analogue à J (H),
sauf que l’on supprime la condition que G
est relevante. Mais on a vu en 5.6(1)
que, sous l’hypothèse posée sur H, cette condition de relevance était automatique.
Donc (G
, μ
, ω ¯
G ) ∈ J (H). Il résulte des constructions que l’image de cet élément
par p est l’élément p ∈ P (H) dont on est parti. Cela achève la preuve.
VII.6.5 Dualités
On a déjà introduit le groupe
P = H
1,0 (W F ; ˆ
S/ ˆ
S
ˆ
θ,0 1− ˆ
θ
→ ˆ
S ad ).
Introduisons le tore S sur F égal à T
∗ muni de l’action galoisienne σ → ω S (σ)σ G ∗ .
Son dual est ˆ
S. Introduisons le groupe
Q = H
1,0 (A F /F ; S sc
1−θ
→ (1 − θ)(S)).
Comme on l’a dit en 6.1, Kottwitz et Shelstad définissent une topologie sur Q,
pour laquelle ce groupe est localement compact, ainsi qu’un accouplement entre
P et Q. On a
(1) l’accouplement entre P et Q identifie P au groupe Hom cont (Q, C
× ) des homomorphismes continus de Q dans C
× .
D’après 6.1(2), il suffit de prouver que l’homomorphisme
ˆ
S
ΓF ,0 1− ˆ
θ
→ ˆ
S
ΓF ,0
ad
est surjectif. On a une projection ˆ
S/(1 − ˆ
θ)( ˆ
S) → ˆ
S ¯
H de noyau Z( ˆ ¯
G). Elle est
équivariante pour les actions galoisiennes. Le tore S ¯
H est elliptique dans ¯
H v pour
toute place non-archimédienne v ∈ V . Cet ensemble de places est non vide puisque
V contient V ram , lequel contient les places de caractéristique résiduelle 2, 3 et 5.
Donc S ¯
H est elliptique dans ¯
H. De plus ¯
H est une donnée elliptique pour ¯
G SC .
Il en résulte que ˆ
S
ΓF ,0
¯
H
= {1}. Donc ( ˆ
S/(1 − ˆ
θ)( ˆ
S))
ΓF ,0
⊂ Z( ˆ ¯
G)
ΓF ,0 . Mais (μ, ω ¯
G )
est elliptique. Donc Z( ˆ ¯
G)
ΓF ,0 est l’image naturelle de Z( ˆ
G)
ΓF ,0 . Il en résulte que
( ˆ
S ad /(1 − ˆ
θ)( ˆ
S ad ))
ΓF ,0 = {1}. C’est équivalent à la surjectivité cherchée.
Pour une place v ∈ Val(F ), on pose
P v = H
1,0 (W Fv ; ˆ
S/ ˆ
S
ˆ
θ,0 1− ˆ
θ
→ ˆ
S ad )
et
Q v = H
1,0 (F v ; S sc
1−θ
→ (1 − θ)(S)).
Chapitre VII. Descente globale
G
n’a pas de raison d’appartenir à l’ensemble de représentants des classes de ˆ
T -
équivalence que l’on a fixé, mais on peut la remplacer par l’élément de cet ensemble
qui lui est ˆ
T -équivalent. Alors (G
, μ
, ω ¯
G ) appartient à l’ensemble J • (H) introduit en 5.4. On rappelle que cet ensemble est défini de façon analogue à J (H),
sauf que l’on supprime la condition que G
est relevante. Mais on a vu en 5.6(1)
que, sous l’hypothèse posée sur H, cette condition de relevance était automatique.
Donc (G
, μ
, ω ¯
G ) ∈ J (H). Il résulte des constructions que l’image de cet élément
par p est l’élément p ∈ P (H) dont on est parti. Cela achève la preuve.
VII.6.5 Dualités
On a déjà introduit le groupe
P = H
1,0 (W F ; ˆ
S/ ˆ
S
ˆ
θ,0 1− ˆ
θ
→ ˆ
S ad ).
Introduisons le tore S sur F égal à T
∗ muni de l’action galoisienne σ → ω S (σ)σ G ∗ .
Son dual est ˆ
S. Introduisons le groupe
Q = H
1,0 (A F /F ; S sc
1−θ
→ (1 − θ)(S)).
Comme on l’a dit en 6.1, Kottwitz et Shelstad définissent une topologie sur Q,
pour laquelle ce groupe est localement compact, ainsi qu’un accouplement entre
P et Q. On a
(1) l’accouplement entre P et Q identifie P au groupe Hom cont (Q, C
× ) des homomorphismes continus de Q dans C
× .
D’après 6.1(2), il suffit de prouver que l’homomorphisme
ˆ
S
ΓF ,0 1− ˆ
θ
→ ˆ
S
ΓF ,0
ad
est surjectif. On a une projection ˆ
S/(1 − ˆ
θ)( ˆ
S) → ˆ
S ¯
H de noyau Z( ˆ ¯
G). Elle est
équivariante pour les actions galoisiennes. Le tore S ¯
H est elliptique dans ¯
H v pour
toute place non-archimédienne v ∈ V . Cet ensemble de places est non vide puisque
V contient V ram , lequel contient les places de caractéristique résiduelle 2, 3 et 5.
Donc S ¯
H est elliptique dans ¯
H. De plus ¯
H est une donnée elliptique pour ¯
G SC .
Il en résulte que ˆ
S
ΓF ,0
¯
H
= {1}. Donc ( ˆ
S/(1 − ˆ
θ)( ˆ
S))
ΓF ,0
⊂ Z( ˆ ¯
G)
ΓF ,0 . Mais (μ, ω ¯
G )
est elliptique. Donc Z( ˆ ¯
G)
ΓF ,0 est l’image naturelle de Z( ˆ
G)
ΓF ,0 . Il en résulte que
( ˆ
S ad /(1 − ˆ
θ)( ˆ
S ad ))
ΓF ,0 = {1}. C’est équivalent à la surjectivité cherchée.
Pour une place v ∈ Val(F ), on pose
P v = H
1,0 (W Fv ; ˆ
S/ ˆ
S
ˆ
θ,0 1− ˆ
θ
→ ˆ
S ad )
et
Q v = H
1,0 (F v ; S sc
1−θ
→ (1 − θ)(S)).