VII.6. Calculs de facteurs de transfert
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pour w ∈ I v . On a en fait w G ∗ (s sc ) = s sc puisque l’action w → w G ∗ est non
ramifiée. Donc u sc (w) appartient au groupe des points fixes de l’automorphisme
ad ssc ◦ ˆ
θ de ˆ
G SC . Ce dernier groupe étant simplement connexe, le groupe de points
fixes est connexe. Son image dans ˆ
G est la composante neutre du groupe des points
fixes de ad s ◦ ˆ
θ, c’est-à-dire ˆ
G
. Il résulte des définitions que u(w) ∈ ˆ
S
ˆ
θ,0 u sc (w) pour
w ∈ I v . Donc u(w) ∈ ˆ
G
pour w ∈ I v . Alors (1, w) = u(w)
−1 u w ∈ G
, ce qui est la
condition pour que la donnée G
soit non ramifiée en v. Cela prouve (4).
Par construction, l’élément u(w) normalise ˆ
T . La relation (3) entraîne que
son image dans W est fixe par ˆ
θ. Il en résulte que l’élément g(w) défini par g w =
(g(w), w) a les mêmes propriétés. On note ω G (w) son image dans W
θ et on note
ω S,G (w) l’élément de W
θ tel que l’image de u(w) dans W soit ω S,G (w)ω G (w).
Parce que g w ∈ ˆ
G
u w , on a en fait ω S,G (w) ∈ W
G
. Il est clair que les applications
ω G et ω S,G , qui sont définies sur W F , se factorisent en des applications continues
sur Γ F . La définition de u w entraîne l’égalité
ω S,G (σ)ω G (σ) = ω S (σ) = ω S ¯
H
(σ)ω ¯
H (σ)ω ¯
G (σ)
pour tout σ ∈ Γ F . Comme en 1.7, l’élément μ s’identifie à un élément μ
∈
T
∗
× Z(G ) Z( ˜
G
), où T
∗ est le tore de G
. Les calculs de systèmes de racines
de ce paragraphe et l’hypothèse p 1 (p) = ¯
s entraînent que le groupe W
¯
H s’identifie
au groupe W
G
(μ
). Le terme ω S ¯
H
(σ) appartient à ce groupe. Posons
ω ¯
G (σ) = ω S ¯
H
(σ)
−1 ω S,G (σ).
On a ω ¯
G (σ) ∈ W
G
et l’égalité précédente se récrit
(5)
ω ¯
G (σ)ω G (σ) = ω ¯
H (σ)ω ¯
G (σ).
D’où aussi
ω ¯
G (σ)σ G = ω ¯
H (σ)ω ¯
G (σ)σ G ∗ .
Le membre de droite fixe μ donc celui de gauche fixe μ
. Le membre de droite
conserve l’ensemble des racines positives de ¯
H, donc celui de gauche conserve
l’ensemble Σ
G
+ (μ
). Donc (μ
, ω ¯
G ) appartient à Stab( ˜
G
(F )). La relation (5) entraîne que cet élément s’envoie sur (μ, ω ¯
G ) par l’application de Stab( ˜
G
(F )) dans
Stab( ˜
G(F )). D’après 1.7(3), (μ
, ω ¯
G ) vérifie pour v ∈ V les conditions (nr1), (nr2)
et (nr3) de 1.6, puisque (μ, ω ¯
G ) les vérifie. La condition (nr4) résulte de (5) : pour
v ∈ V et σ ∈ I v , on a ω G (σ) = 1 puisque G
est non ramifié, ω ¯
H (σ) = 1 puisque
H est non ramifié, ω ¯
G (σ) = 1 puisque v ∈ S(X , ˜
K) (on a imposé S(X , ˜
K) ⊂ V ,
cf. 5.1) ; d’où ω ¯
G (σ) = 1. Donc S(p ˜
G (μ
, ω ¯
G ), ˜
K
) ⊂ V .
En inversant la preuve de 5.2(3), on voit que les hypothèses d’ellipticité de H
et de (μ, ω ¯
G ) entraînent que G
est elliptique et que (μ
, ω ¯
G ) l’est aussi. En utilisant l’hypothèse p 1 (p) = ¯
s et la relation (5), on voit que les données (G
, μ
, ω ¯
G )
s’envoient sur H par la construction du paragraphe 5.2. Evidemment, la donnée
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pour w ∈ I v . On a en fait w G ∗ (s sc ) = s sc puisque l’action w → w G ∗ est non
ramifiée. Donc u sc (w) appartient au groupe des points fixes de l’automorphisme
ad ssc ◦ ˆ
θ de ˆ
G SC . Ce dernier groupe étant simplement connexe, le groupe de points
fixes est connexe. Son image dans ˆ
G est la composante neutre du groupe des points
fixes de ad s ◦ ˆ
θ, c’est-à-dire ˆ
G
. Il résulte des définitions que u(w) ∈ ˆ
S
ˆ
θ,0 u sc (w) pour
w ∈ I v . Donc u(w) ∈ ˆ
G
pour w ∈ I v . Alors (1, w) = u(w)
−1 u w ∈ G
, ce qui est la
condition pour que la donnée G
soit non ramifiée en v. Cela prouve (4).
Par construction, l’élément u(w) normalise ˆ
T . La relation (3) entraîne que
son image dans W est fixe par ˆ
θ. Il en résulte que l’élément g(w) défini par g w =
(g(w), w) a les mêmes propriétés. On note ω G (w) son image dans W
θ et on note
ω S,G (w) l’élément de W
θ tel que l’image de u(w) dans W soit ω S,G (w)ω G (w).
Parce que g w ∈ ˆ
G
u w , on a en fait ω S,G (w) ∈ W
G
. Il est clair que les applications
ω G et ω S,G , qui sont définies sur W F , se factorisent en des applications continues
sur Γ F . La définition de u w entraîne l’égalité
ω S,G (σ)ω G (σ) = ω S (σ) = ω S ¯
H
(σ)ω ¯
H (σ)ω ¯
G (σ)
pour tout σ ∈ Γ F . Comme en 1.7, l’élément μ s’identifie à un élément μ
∈
T
∗
× Z(G ) Z( ˜
G
), où T
∗ est le tore de G
. Les calculs de systèmes de racines
de ce paragraphe et l’hypothèse p 1 (p) = ¯
s entraînent que le groupe W
¯
H s’identifie
au groupe W
G
(μ
). Le terme ω S ¯
H
(σ) appartient à ce groupe. Posons
ω ¯
G (σ) = ω S ¯
H
(σ)
−1 ω S,G (σ).
On a ω ¯
G (σ) ∈ W
G
et l’égalité précédente se récrit
(5)
ω ¯
G (σ)ω G (σ) = ω ¯
H (σ)ω ¯
G (σ).
D’où aussi
ω ¯
G (σ)σ G = ω ¯
H (σ)ω ¯
G (σ)σ G ∗ .
Le membre de droite fixe μ donc celui de gauche fixe μ
. Le membre de droite
conserve l’ensemble des racines positives de ¯
H, donc celui de gauche conserve
l’ensemble Σ
G
+ (μ
). Donc (μ
, ω ¯
G ) appartient à Stab( ˜
G
(F )). La relation (5) entraîne que cet élément s’envoie sur (μ, ω ¯
G ) par l’application de Stab( ˜
G
(F )) dans
Stab( ˜
G(F )). D’après 1.7(3), (μ
, ω ¯
G ) vérifie pour v ∈ V les conditions (nr1), (nr2)
et (nr3) de 1.6, puisque (μ, ω ¯
G ) les vérifie. La condition (nr4) résulte de (5) : pour
v ∈ V et σ ∈ I v , on a ω G (σ) = 1 puisque G
est non ramifié, ω ¯
H (σ) = 1 puisque
H est non ramifié, ω ¯
G (σ) = 1 puisque v ∈ S(X , ˜
K) (on a imposé S(X , ˜
K) ⊂ V ,
cf. 5.1) ; d’où ω ¯
G (σ) = 1. Donc S(p ˜
G (μ
, ω ¯
G ), ˜
K
) ⊂ V .
En inversant la preuve de 5.2(3), on voit que les hypothèses d’ellipticité de H
et de (μ, ω ¯
G ) entraînent que G
est elliptique et que (μ
, ω ¯
G ) l’est aussi. En utilisant l’hypothèse p 1 (p) = ¯
s et la relation (5), on voit que les données (G
, μ
, ω ¯
G )
s’envoient sur H par la construction du paragraphe 5.2. Evidemment, la donnée