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Chapitre VII. Descente globale
Parce que ˆ
r S (w)ˆ n G (ω S (w)) est fixe par ˆ
θ, on a
s ˆ
θ(u(w))w G ∗ (s)
−1 = s ˆ
θ(t S (w))
−1 ˆ
r S (w)ˆ n G (ω S (w))w G ∗ (s)
−1 .
Parce que w S = ad ˆ
rS (w)ˆ nG(ωS (w)) ◦w G ∗ , on obtient
s ˆ
θ(u(w))w G ∗ (s)
−1 = s ˆ
θ(t S (w))
−1 w S (s)
−1 ˆ
r S (w)ˆ n G (ω S (w)).
En utilisant (2), on obtient
s ˆ
θ(u(w))w G ∗ (s)
−1 = a(w)t S (w)
−1 ˆ
r S (w)ˆ n G (ω S (w)) = a(w)u(w).
Cela prouve (3).
La relation (3) entraîne aisément que ad uw normalise Z ˆ
G (s ˆ
θ), donc aussi sa
composante neutre ˆ
G
. Alors l’ensemble ˆ
G
{u w ; w ∈ W F } est un groupe. Notons-le
G
. On a la suite exacte
1 → ˆ
G
→ G
→ W F → 1
qui est scindée par l’homomorphisme u. Comme toujours, pour w ∈ W F , on peut
fixer un élément g w ∈ ˆ
G
u w tel que ad gw conserve l’épinglage fixé de ˆ
G
. Alors
w → ad gw munit ˆ
G
d’une action galoisienne préservant l’épinglage. On introduit
le groupe réductif connexe G
sur F , quasi-déployé, tel que ˆ
G
, muni de son action
galoisienne, soit le groupe dual de G
. La relation (3) montre que G
= (G
, G
, s ˆ
θ)
est une donnée endoscopique pour (G, ˜
G, a).
Montrons que
(4) cette donnée endoscopique est non ramifiée hors de V .
Soit v ∈ V . On sait res Iv (p) appartient à l’image de ϕ v . Fixons un cocycle
(t
S,sc , s
sc ) ∈ H
1,0 (I v ; ˆ
S sc / ˆ
S
ˆ
θ
sc
1− ˆ
θ
→ ˆ
S sc ) tel que res Iv (p) = ϕ v (t
S,sc , s
sc ). Cela signifie qu’il existe x ∈ ˆ
S tel que l’on ait s ∈ Z( ˆ
G)xs
sc et t S (w) = t
S,sc (w)w S (x)x
−1
pour tout w ∈ I v (en identifiant un élément de G SC à son image dans G). On
écrit x = zx sc , avec x sc ∈ ˆ
S sc et z ∈ Z( ˆ
G). On remplace (t
S,sc , s
sc ) par le cocycle
cohomologue (t S,sc , s sc ) défini par t S,sc (w) = t
S,sc (w)w S (x sc )x
−1
sc et s sc = s
sc x sc .
Les relations deviennent s ∈ Z( ˆ
G)s sc et t S (w) = t S,sc (w)w S (z)z
−1 pour σ ∈ I v .
Mais toutes les actions galoisiennes coïncident sur Z( ˆ
G). Elles y sont non ramifiées en v puisque v 𨐾 ∈ V ram . Donc w S (z) = z pour w ∈ I v et on a simplement
t S (w) = t S,sc (w) pour w ∈ I v . Parce que ˆ
S
ˆ
θ
sc est connexe, le résultat de [56] cité
ci-dessus permet de relever t S,sc en un cocycle t S,sc à valeurs dans ˆ
S sc . En se rappelant que le terme ˆ
r S (w)ˆ n G (ω S (w)) est naturellement un élément de ˆ
G SC , on
définit u sc (w) = t S,sc (w)
−1 ˆ
r S (w)ˆ n G (ω S (w)) ∈ ˆ
G SC . Parce que (t S,sc , s sc ) est un
cocycle, le même calcul qu’en (3) montre que
s sc ˆ
θ(u sc (w))w G ∗ (s sc )
−1 = u sc (w)