VII.6. Calculs de facteurs de transfert
841
où a est un cocycle à valeurs dans Z( ˆ
G), d’image a dans
H
1 (W F ; Z( ˆ
G))/ ker
1 (W F ; Z( ˆ
G)).
On obtient
(1 − ˆ
θ)(t S (w))
= a(w)s
−1 ˆ
r S,G (w)ˆ n G (ω S,G (w))g(w)w G ∗ (s)g(w)
−1 ˆ
n G (ω S,G (w))
−1 ˆ
r S,G (w)
−1 .
Mais
ad ˆ
n G (ω S,G (w))g(w) ◦w G ∗ = w S .
D’où
(1 − ˆ
θ)(t S (w)) = a(w)s
−1 w S (s).
Alors le cocycle z est égal à a. Il s’ensuit que p 2 (p) = a.
Soit v ∈ Val(F ) − V . Pour w ∈ I v , on peut prendre g(w) = 1 puisque G
est non ramifié en v. Alors les termes intervenant dans la définition de t S (w)
appartiennent tous à ˆ
G SC . On peut considérer t S comme une cochaîne à valeurs
dans ˆ
S sc . C’est encore un cocycle. On en déduit un cocycle encore noté t S à valeurs
dans ˆ
S sc / ˆ
S
ˆ
θ
sc . On fixe un élément s sc ∈ ˆ
S sc ayant même image que s dans ˆ
S ad . Le
même calcul que ci-dessus montre que le couple (t S , s sc ) est un cocycle et définit
un élément de H
1,0 (I v ; ˆ
S sc / ˆ
S
ˆ
θ
sc
1− ˆ
θ
→ ˆ
S sc ). Il est clair que res Iv (t S , s) est l’image par
ϕ v de ce cocycle. Cela achève de prouver que p = (t S , s) appartient à P (H).
Réciproquement, soit p ∈ P (H). On représente p par un cocycle (t S , s). On
relève s en un élément s ∈ ˆ
T . On pose ˆ
G
= Z ˆ
G (s ˆ
θ)
0 . On munit ce groupe d’une
paire de Borel épinglée dont la paire sous-jacente soit ( ˆ
B ∩ ˆ
G
, ˆ
T
ˆ
θ,0 ).
Parce que ˆ
S
ˆ
θ,0 est connexe, l’homomorphisme
H
1 (W F ; ˆ
S) → H
1 (W F ; ˆ
S/ ˆ
S
ˆ
θ,0 )
est surjectif, cf. [56] p. 719 (1). On relève t S en un cocycle t S à valeurs dans ˆ
S.
Pour w ∈ W F , posons
u(w) = t S (w)
−1 ˆ
r S (w)ˆ n G (ω S (w)),
puis u w = (u(w), w) ∈
L G. On vérifie que w → u w est un homomorphisme de W F
dans
L G. Parce que p 2 (p) = a, il existe un cocycle a : W F → Z( ˆ
G), dont l’image
dans le groupe H
1 (W F ; Z( ˆ
G))/ ker
1 (F, Z( ˆ
G)) est a, tel que
(2)
(1 − ˆ
θ)(t S (w)) = w S (s)s
−1 a(w)
pour tout w ∈ W F . Montrons que l’on a
(3) s ˆ
θ(u(w))w G ∗ (s)
−1 = a(w)u(w) pour tout w ∈ W F .
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où a est un cocycle à valeurs dans Z( ˆ
G), d’image a dans
H
1 (W F ; Z( ˆ
G))/ ker
1 (W F ; Z( ˆ
G)).
On obtient
(1 − ˆ
θ)(t S (w))
= a(w)s
−1 ˆ
r S,G (w)ˆ n G (ω S,G (w))g(w)w G ∗ (s)g(w)
−1 ˆ
n G (ω S,G (w))
−1 ˆ
r S,G (w)
−1 .
Mais
ad ˆ
n G (ω S,G (w))g(w) ◦w G ∗ = w S .
D’où
(1 − ˆ
θ)(t S (w)) = a(w)s
−1 w S (s).
Alors le cocycle z est égal à a. Il s’ensuit que p 2 (p) = a.
Soit v ∈ Val(F ) − V . Pour w ∈ I v , on peut prendre g(w) = 1 puisque G
est non ramifié en v. Alors les termes intervenant dans la définition de t S (w)
appartiennent tous à ˆ
G SC . On peut considérer t S comme une cochaîne à valeurs
dans ˆ
S sc . C’est encore un cocycle. On en déduit un cocycle encore noté t S à valeurs
dans ˆ
S sc / ˆ
S
ˆ
θ
sc . On fixe un élément s sc ∈ ˆ
S sc ayant même image que s dans ˆ
S ad . Le
même calcul que ci-dessus montre que le couple (t S , s sc ) est un cocycle et définit
un élément de H
1,0 (I v ; ˆ
S sc / ˆ
S
ˆ
θ
sc
1− ˆ
θ
→ ˆ
S sc ). Il est clair que res Iv (t S , s) est l’image par
ϕ v de ce cocycle. Cela achève de prouver que p = (t S , s) appartient à P (H).
Réciproquement, soit p ∈ P (H). On représente p par un cocycle (t S , s). On
relève s en un élément s ∈ ˆ
T . On pose ˆ
G
= Z ˆ
G (s ˆ
θ)
0 . On munit ce groupe d’une
paire de Borel épinglée dont la paire sous-jacente soit ( ˆ
B ∩ ˆ
G
, ˆ
T
ˆ
θ,0 ).
Parce que ˆ
S
ˆ
θ,0 est connexe, l’homomorphisme
H
1 (W F ; ˆ
S) → H
1 (W F ; ˆ
S/ ˆ
S
ˆ
θ,0 )
est surjectif, cf. [56] p. 719 (1). On relève t S en un cocycle t S à valeurs dans ˆ
S.
Pour w ∈ W F , posons
u(w) = t S (w)
−1 ˆ
r S (w)ˆ n G (ω S (w)),
puis u w = (u(w), w) ∈
L G. On vérifie que w → u w est un homomorphisme de W F
dans
L G. Parce que p 2 (p) = a, il existe un cocycle a : W F → Z( ˆ
G), dont l’image
dans le groupe H
1 (W F ; Z( ˆ
G))/ ker
1 (F, Z( ˆ
G)) est a, tel que
(2)
(1 − ˆ
θ)(t S (w)) = w S (s)s
−1 a(w)
pour tout w ∈ W F . Montrons que l’on a
(3) s ˆ
θ(u(w))w G ∗ (s)
−1 = a(w)u(w) pour tout w ∈ W F .