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Chapitre VII. Descente globale
(t S,1 , s 1 ) et (t S,2 , s 2 ) sont cohomologues. On a prouvé que remplacer la donnée
G
2 par une donnée ˆ
T -équivalente remplaçait le cocycle (t S,2 , s 2 ) par un cocycle
cohomologue. En reprenant la preuve, on voit qu’à l’inverse, on peut remplacer G
2
par une donnée ˆ
T -équivalente de sorte que les deux cocycles (t S,1 , s 1 ) et (t S,2 , s 2 )
soient égaux. Alors les images de s 1 et s 2 dans ˆ
T ad sont égales. A équivalence près,
on peut supposer s 1 = s 2 . Alors ˆ
G
1 = ˆ
G
2 . Notons simplement ˆ
G
ce groupe. Pour
σ ∈ Γ F , on a l’égalité
ω ¯
G
1
(σ)ω G
1
(σ)σ G ∗ = ω ¯
G
2
(σ)ω G
2
(σ)σ G ∗
parce que chacun des deux termes est égal à ω ¯
H (σ)ω ¯
G (σ)σ G ∗ . Mais, pour i = 1, 2,
ω G
i
(σ)σ G ∗ conserve l’ensemble des racines positives de ˆ
T
ˆ
θ,0 dans ˆ
G
, tandis que
ω ¯
G
i
(σ) appartient à W
G
. Une décomposition en produits de termes vérifiant ces
propriétés est unique. D’où les égalités
(1)
ω ¯
G
1
= ω ¯
G
2
et ω G
1
= ω G
2
.
La seconde égalité signifie que l’égalité ˆ
G
1 = ˆ
G
2 est compatible aux actions galoisiennes. Dualement, on peut supposer G
1 = G
2 . Pour w ∈ W F , les termes
qui interviennent dans la construction de t S,1 (w) et t S,2 (w) sont égaux, à l’exception peut-être de g 1 (w) et g 2 (w). L’égalité t S,1 (w) = t S,2 (w) entraîne donc que
g 2 (w) ∈ ˆ
T
ˆ
θ,0 g 1 (w) pour tout w ∈ W F . Donc g w,2 ∈ ˆ
G
g 1,w . Pour i = 1, 2, G
i est
engendré par ˆ
G
et les g w,i pour w ∈ W F . Donc G
1 = G
2 . Cela prouve que, quitte
à remplacer G
2 par un élément ˆ
T -équivalent, on a l’égalité G
1 = G
2 . Puisque les
deux éléments de départ appartiennent à un ensemble de représentants modulo
ˆ
T -équivalence, ces deux éléments de départ sont en fait égaux. Enfin, on a l’égalité μ
1 = μ
2 = μ. D’où, grâce à (1), (G
1 , μ
1 , ω ¯
G
1
) = (G
2 , μ
2 , ω ¯
G
2
). Cela prouve
l’injectivité de p.
Montrons maintenant que p(J (H)) ⊂ P (H). Soit j = (G
, μ
, ω ¯
G ) ∈ J (H).
On écrit G
= (G
, G
, s ˆ
θ). On lui associe le cocycle p = (t S , s). Le fait que p 1 (p) =
¯
s est immédiat.
Concrètement, l’image z = p
2 (p) se construit ainsi. Le cocycle (t S , s) se relève
en la cochaîne (t S , s). Le cocycle z : W F → Z( ˆ
G) est défini par
(1 − ˆ
θ)(t S (w)) = w S (s)s
−1 z(w).
Parce que ˆ
r S (w)ˆ n G (ω S (w)) est fixe par ˆ
θ, on a
(1 − ˆ
θ)(t S (w))
= ˆ
θ
ˆ
r S,G (w)ˆ n G (ω S,G (w))g(w)
g(w)
−1 ˆ
n G (ω S,G (w))
−1 ˆ
r S,G (w)
−1
= s
−1 s ˆ
θ
ˆ
r S,G (w)ˆ n G (ω S,G (w))
s
−1 s ˆ
θ(g(w))g(w)
−1 ˆ
n G (ω S,G (w))
−1 ˆ
r S,G (w)
−1 .
Parce que ˆ
r S,G (w)ˆ n G (ω S,G (w)) ∈ ˆ
G
, ce terme est fixe par ad s ◦ ˆ
θ. D’autre part,
on a une égalité
s ˆ
θ(g(w)) = a(w)g(w)w G ∗ (s),
Chapitre VII. Descente globale
(t S,1 , s 1 ) et (t S,2 , s 2 ) sont cohomologues. On a prouvé que remplacer la donnée
G
2 par une donnée ˆ
T -équivalente remplaçait le cocycle (t S,2 , s 2 ) par un cocycle
cohomologue. En reprenant la preuve, on voit qu’à l’inverse, on peut remplacer G
2
par une donnée ˆ
T -équivalente de sorte que les deux cocycles (t S,1 , s 1 ) et (t S,2 , s 2 )
soient égaux. Alors les images de s 1 et s 2 dans ˆ
T ad sont égales. A équivalence près,
on peut supposer s 1 = s 2 . Alors ˆ
G
1 = ˆ
G
2 . Notons simplement ˆ
G
ce groupe. Pour
σ ∈ Γ F , on a l’égalité
ω ¯
G
1
(σ)ω G
1
(σ)σ G ∗ = ω ¯
G
2
(σ)ω G
2
(σ)σ G ∗
parce que chacun des deux termes est égal à ω ¯
H (σ)ω ¯
G (σ)σ G ∗ . Mais, pour i = 1, 2,
ω G
i
(σ)σ G ∗ conserve l’ensemble des racines positives de ˆ
T
ˆ
θ,0 dans ˆ
G
, tandis que
ω ¯
G
i
(σ) appartient à W
G
. Une décomposition en produits de termes vérifiant ces
propriétés est unique. D’où les égalités
(1)
ω ¯
G
1
= ω ¯
G
2
et ω G
1
= ω G
2
.
La seconde égalité signifie que l’égalité ˆ
G
1 = ˆ
G
2 est compatible aux actions galoisiennes. Dualement, on peut supposer G
1 = G
2 . Pour w ∈ W F , les termes
qui interviennent dans la construction de t S,1 (w) et t S,2 (w) sont égaux, à l’exception peut-être de g 1 (w) et g 2 (w). L’égalité t S,1 (w) = t S,2 (w) entraîne donc que
g 2 (w) ∈ ˆ
T
ˆ
θ,0 g 1 (w) pour tout w ∈ W F . Donc g w,2 ∈ ˆ
G
g 1,w . Pour i = 1, 2, G
i est
engendré par ˆ
G
et les g w,i pour w ∈ W F . Donc G
1 = G
2 . Cela prouve que, quitte
à remplacer G
2 par un élément ˆ
T -équivalent, on a l’égalité G
1 = G
2 . Puisque les
deux éléments de départ appartiennent à un ensemble de représentants modulo
ˆ
T -équivalence, ces deux éléments de départ sont en fait égaux. Enfin, on a l’égalité μ
1 = μ
2 = μ. D’où, grâce à (1), (G
1 , μ
1 , ω ¯
G
1
) = (G
2 , μ
2 , ω ¯
G
2
). Cela prouve
l’injectivité de p.
Montrons maintenant que p(J (H)) ⊂ P (H). Soit j = (G
, μ
, ω ¯
G ) ∈ J (H).
On écrit G
= (G
, G
, s ˆ
θ). On lui associe le cocycle p = (t S , s). Le fait que p 1 (p) =
¯
s est immédiat.
Concrètement, l’image z = p
2 (p) se construit ainsi. Le cocycle (t S , s) se relève
en la cochaîne (t S , s). Le cocycle z : W F → Z( ˆ
G) est défini par
(1 − ˆ
θ)(t S (w)) = w S (s)s
−1 z(w).
Parce que ˆ
r S (w)ˆ n G (ω S (w)) est fixe par ˆ
θ, on a
(1 − ˆ
θ)(t S (w))
= ˆ
θ
ˆ
r S,G (w)ˆ n G (ω S,G (w))g(w)
g(w)
−1 ˆ
n G (ω S,G (w))
−1 ˆ
r S,G (w)
−1
= s
−1 s ˆ
θ
ˆ
r S,G (w)ˆ n G (ω S,G (w))
s
−1 s ˆ
θ(g(w))g(w)
−1 ˆ
n G (ω S,G (w))
−1 ˆ
r S,G (w)
−1 .
Parce que ˆ
r S,G (w)ˆ n G (ω S,G (w)) ∈ ˆ
G
, ce terme est fixe par ad s ◦ ˆ
θ. D’autre part,
on a une égalité
s ˆ
θ(g(w)) = a(w)g(w)w G ∗ (s),