VII.6. Calculs de facteurs de transfert
839
Le diagramme commutatif
1
↓
1
→ Z( ˆ
G)
↓
↓
ˆ
S/ ˆ
S
ˆ
θ,0 1− ˆ
θ
→
ˆ
S
↓
↓
ˆ
S/ ˆ
S
ˆ
θ,0 1− ˆ
θ
→
ˆ
S ad
↓
↓
1
1
fournit un homomorphisme naturel
p
2 : P = H
1,0 (W F ; ˆ
S/ ˆ
S
ˆ
θ,0 1− ˆ
θ
→ ˆ
S ad ) → H
1 (W F ; Z( ˆ
G)),
puis
p 2 : P → H
1 (W F ; Z( ˆ
G))/ ker
1 (W F ; Z( ˆ
G)).
Soit v ∈ Val(F ) − V , notons I v le groupe d’inertie de Γ Fv . C’est aussi un
sous-groupe de W Fv . Remarquons que l’on n’a pas supposé que le tore S était non
ramifié hors de V . On a un diagramme
( ˆ
S sc /(1 − ˆ
θ)( ˆ
S sc ))
Iv
H
1,0 (I v ; ˆ
S sc / ˆ
S
ˆ
θ
sc
1− ˆ
θ
→ ˆ
S sc )
↓ ϕ v
P = H
1,0 (W F ; ˆ
S/ ˆ
S
ˆ
θ,0 1− ˆ
θ
→ ˆ
S ad )
resI v
→ H
1,0 (I v ; ˆ
S/ ˆ
S
ˆ
θ,0 1− ˆ
θ
→ ˆ
S ad ).
On a noté comme toujours ˆ
S sc l’image réciproque de ˆ
S dans ˆ
G SC . Son groupe
de points fixes ˆ
S
ˆ
θ
sc est connexe et l’homomorphisme 1 − ˆ
θ est injectif sur ˆ
S sc / ˆ
S
ˆ
θ
sc .
L’isomorphisme du haut en résulte, par la suite exacte de [48] p.119. L’homomorphisme res Iv est la restriction.
On note P (H) l’ensemble des p ∈ P tels que
– p 1 (p) = ¯
s ;
– p 2 (p) = a ;
– pour tout v ∈ V , res Iv (p) appartient à l’image de ϕ v .
Proposition. L’application p est injective. Son image est P (H).
Preuve. On commence par prouver l’injectivité. Considérons deux éléments
(G
1 , μ
1 , ω ¯
G
1
) et (G
2 , μ
2 , ω ¯
G
2
) de J (H) ayant même image par p. On affecte les
termes attachés à chacune des données d’un indice 1 ou 2. Les deux cocycles